Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

2
1
C: y vuelta B: u vuelta A: x vuelta
FIGURA 3.26 Cuando el engrane A da x
vueltas, el engrane B da u vueltas y el
engrane C da y vueltas. Comparando las
circunferencias o contando los dientes,
vemos que y = u/2 (C gira media vuelta por
cada vuelta de B) y u = 3x. (B gira tres veces
por una de A). De manera que y = 3x/2. Así,
dy>dx = 3>2 =
s1>2ds3d = sdy>dudsdu>dxd.
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Derivada de una función compuesta
Empecemos con ejemplos.
EJEMPLO 1 Relación entre derivadas
La función es la composición de las funciones y = y u = 3x.
¿Cómo se relacionan las derivadas de estas funciones?
1
2 u
3 1
y = x =
2 2 s3xd
Solución Tenemos
3 1
Como = vemos que
2 2 # 3,
¿Es un accidente que
Si consideramos la derivada como una razón de cambio, nuestra intuición nos permitirá
ver que esta relación es razonable. Si y = f (u) cambia a la mitad de velocidad que u, y
u = g (x) cambia tres veces más rápido que x, cabe suponer que y cambiará 3N2 veces más
rápido que x. Este efecto se parece mucho a un engranaje múltiple (figura 3.26).
EJEMPLO 2
La función
es la composición de y u = 3x Al calcular las derivadas, vemos que
2 y = u + 1.
2
Al calcular la derivada a partir de la fórmula expandida, obtenemos
Una vez más,
dy
dx
3 dy
= ,
2 du
y = 9x 4 + 6x 2 + 1 = s3x 2 + 1d 2
dy # du
du dx = 2u # 6x
dy
dx
3.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas 191
dy
dx
dy
dx
= 2s3x 2 + 1d # 6x
= 36x 3 + 12x.
= d
dx A9x4 + 6x 2 + 1B
= 36x 3 + 12x.
dy # du
du dx
= 1
2 y du
dx
dy
= # du
du dx .
dy
= # du
du dx ?
= dy
dx .
= 3.
La derivada de la función compuesta f(g(x)) en x es la derivada de f en g(x), multiplicada
por la derivada de g en x. Esto se conoce como la regla de la cadena (figura 3.27).