Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

7.8
Funciones hiperbólicas
7.8 Funciones hiperbólicas 535
Las funciones hiperbólicas se forman por medio de combinaciones de dos funciones exponenciales,
e x y e –x . Las funciones hiperbólicas simplifican muchas expresiones matemáticas
y son importantes en muchas aplicaciones. Por ejemplo, se utilizan en problemas tales
como la determinación de la tensión de un cable suspendido por sus dos extremos, como
en el caso de los cables de energía eléctrica. También desempeñan un papel importante en
la determinación de soluciones de ecuaciones diferenciales. En esta sección haremos una
breve introducción a las funciones hiperbólicas, sus gráficas y el cálculo de sus derivadas,
además de explicar por qué aparecen como antiderivadas importantes.
Partes par e impar de la función exponencial
Recuerde las definiciones de funciones par e impar que se dieron en la sección 1.4, así como
las simetrías de sus gráficas. Una función par satisface f (–x) = f (x), mientras que una
función impar satisface f (–x) = – f (x). Toda función f definida en un intervalo centrado en
el origen, puede escribirse de manera única como la suma de una función par y una función
impar. La descomposición es
ƒsxd =
Si escribimos e x de esta manera, obtenemos
Las partes par e impar de e x , llamadas coseno hiperbólico y seno hiperbólico, respectivamente,
son útiles por sí mismas. Describen los movimientos de ondas en sólidos elásticos
y la distribución de temperatura en aletas metálicas de enfriamiento. La línea central del
Gateway Arch to the West en San Luis Missouri, Estados Unidos, es una curva ponderada
de coseno hiperbólico.
Definiciones e identidades
ƒsxd + ƒs -xd
+
2
ƒsxd - ƒs -xd
.
('')''* ('')''* 2
parte par parte impar
ex = ex + e-x +
2
ex - e-x .
(')'* (')'* 2
parte par parte impar
Las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico se definen mediante las primeras dos
ecuaciones de la tabla 7.5. Esta tabla también lista las definiciones de tangente, cotangente,
secante y cosecante hiperbólicos. Como veremos, las funciones hiperbólicas poseen
varias similitudes con las funciones trigonométricas cuyo nombre comparten. (Vea también
el ejercicio 84).
Las funciones hiperbólicas satisfacen las identidades de la tabla 7.6. Salvo por diferencias
de signo, son similares a las que conocemos para funciones trigonométricas.
La segunda ecuación se obtiene como sigue:
2 senh x cosh x = 2 a ex - e -x
2
= e2x - e -2x
2
= senh 2x.
ba ex + e-x b
2