Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

438 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
y k
r 1 f(x k – 1 )
P
x k – 1
Longitud del segmento:
L (x k ) 2 (y k ) 2
x k
y f(x)
Q
r 2 f(x k )
FIGURA 6.46 Dimensiones asociadas
con el arco y el segmento PQ.
y k
P
x k – 1
x k
(ck , f(ck ))
Tangente paralela
a la cuerda.
ck xk y f(x)
FIGURA 6.47 Si f es suave, el Teorema
del Valor Medio asegura la existencia de
un punto c k en donde la tangente es
paralela al segmento PQ.
0
y
y 2x
(2, 22)
(1, 2)
1
2
FIGURA 6.48 En el ejemplo 1
calculamos el área de esta superficie.
x
Q
x k
Con esta sustitución para ¢yk, las sumas en la ecuación (1) toman la forma
n
a psƒsxk - 1d + ƒsxkdd2s¢xkd 2 + sƒ¿sckd ¢xkd2 k = 1
n
= a psƒsxk - 1d + ƒsxkdd21 + sƒ¿sckdd
k = 1
2 ¢xk.
Estas sumas no son las sumas de Riemann de alguna función, ya que los puntos x k–1, x k y
c k no son iguales. Sin embargo, un teorema de cálculo avanzado nos asegura que cuando
la norma de la partición de [a, b] tiende a cero, las sumas de la ecuación (2) convergen a la
integral
La
b
2pƒsxd21 + sƒ¿sxdd 2 dx.
Por lo tanto, definimos esta integral como el área de la superficie barrida por la gráfica de
f, de a a b.
DEFINICIÓN Área superficial para rotación alrededor del eje x
Si la función ƒsxd Ú 0 es continuamente diferenciable en [a, b], el área de la
superficie generada al hacer girar la curva y = ƒsxd alrededor del eje x es
S =
La
b
2py 1 + a
B dy
dx b
2
dx =
La
b
2pƒsxd21 + sƒ¿sxdd 2 dx.
La raíz cuadrada de la ecuación (3) es la misma que aparece en la fórmula para calcular
longitud de arco en la ecuación (2) de la sección 6.3.
EJEMPLO 1 Aplicando la fórmula de área superficial
Determinar el área de la superficie generada al hacer girar la curva
1 … x … 2, alrededor del eje x (figura 6.48).
Solución Evaluamos la fórmula
con
S =
La
b
2py 1 + a
B dy
dx b
2
dx
a = 1, b = 2, y = 22x, dy
dx
1 + a
B dy
dx b
2
= 1 + a
B 1
2x b
2
= 1 +
A 1 x = x + 1
A x =
Ecuación (3)
= 1
2x ,
2x + 1
.
2x
(3)
(2)
y = 22x,