Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Exploración gráfica de ecuaciones diferenciales
Utilice un software matemático para investigar de manera gráfica cada
una de las ecuaciones diferenciales de los ejercicios 21 a 24. Realice
los pasos siguientes en su investigación.
a. Trace un campo de pendientes para la ecuación diferencial en la
ventana xy dada.
b. Determine la solución general de la ecuación diferencial por medio
de la función para solucionar ecuaciones diferenciales de su
software matemático.
c. Grafique las soluciones para los valores de la constante arbitraria
C = -2, -1, 0, 1, 2 superpuestas en su diagrama de campo de
pendientes.
d. Determine y grafique la solución que satisface la condición inicial
especificada en el intervalo [0, b].
e. Determine la aproximación numérica de Euler a la solución del
problema de valor inicial con 4 subintervalos del intervalo en x, y
9.4
9.4 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas 665
trace la aproximación de Euler para la gráfica que obtuvo en el
inciso (d).
f. Repita el inciso (e) para 8, 16 y 32 subintervalos. Trace estas
tres aproximaciones de Euler superpuestas en la gráfica del
inciso (e).
g. Determine el error (y(exacta) – y(Euler)) en el punto especificado
x = b para cada una de sus cuatro aproximaciones de Euler.
Analice la mejora en el error porcentual.
21.
22.
23. Una ecuación logística y¿ =ys2 - yd,
0 … x … 4, 0 … y … 3; b = 3
24.
y¿ =x + y, ys0d = -7>10; -4 … x … 4, -4 … y … 4;
b = 1
y¿ =-x>y, ys0d = 2; -3 … x … 3, -3 … y … 3;
ys0d = 1>2;
b = 2
y¿ =ssen xdssen yd, ys0d = 2; -6 … x … 6, -6 … y … 6
b = 3p>2
Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas
En el capítulo 4 aprendimos que el signo de la primera derivada indica en qué parte es creciente
la gráfica de una función y en dónde es decreciente. El signo de la segunda derivada
indica la concavidad de la gráfica. Podemos fundamentar nuestro conocimiento de cómo
las derivadas determinan la forma de una gráfica para resolver, de manera gráfica, una
ecuación diferencial. Las ideas iniciales para hacerlo así, son las nociones de la línea de
fase y el valor de equilibrio. Llegamos a estas nociones con la investigación de lo que sucede
cuando la derivada de una función diferenciable es cero desde un punto de vista diferente
al estudiado en el capítulo 4.
Valores de equilibrio y líneas de fase
Cuando derivamos de manera implícita la ecuación
obtenemos
1
ln s5y - 15d = x + 1
5
1
5 a
5 dy
b
5y - 15 dx
Al despejar y¿ =dy>dx encontramos y¿ =5y - 15 = 5sy - 3d. En este caso la derivada
y¿ es una función de y (la variable dependiente) únicamente, y es cero cuando y = 3.
Una ecuación diferencial para la que dy> dx sólo es función de y se denomina ecuación
diferencial autónoma. Investigue qué sucede cuando la derivada en una ecuación autónoma
es cero.
= 1.
DEFINICIÓN Valores de equilibrio
Si dy>dx = gs yd
(ecuación diferencial autónoma), los valores de y para los que
dy>dx = 0 se denominan valores de equilibrio o puntos de reposo.