Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

268 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
CÓNCAVA HACIA ARRIBA
4
3
2
y
y x 2
1
y'' 0 y'' 0
CÓNCAVA HACIA ABAJO
–2 –1 0 1 2
FIGURA 4.26 La gráfica de ƒsxd = x es
cóncava hacia arriba en todo intervalo
(ejemplo 1b)
2
4
3
2
1
0
–1
–2
y
y 3 senx
y'' – senx
2
FIGURA 4.27 Use la gráfica de y– para
determinar la concavidad de y (ejemplo 2).
x
x
DEFINICIONES Cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo
La gráfica de una función diferenciable y = ƒsxd es
(a) cóncava hacia arriba en un intervalo abierto I si ƒ¿ es creciente en I.
(b) cóncava hacia abajo en un intervalo abierto I si ƒ¿ es decreciente en I.
Si y = ƒsxd tiene segunda derivada, podemos aplicar el corolario 3 del teorema del valor
medio para concluir que ƒ¿ crece si ƒ– 70 en I, y decrece si ƒ– 60.
Prueba de la segunda derivada para concavidad
Sea y = ƒsxd dos veces diferenciable en un intervalo I.
1. Si ƒ– 70 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia arriba.
2. Si ƒ– 60 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia abajo.
Si y = ƒsxd es dos veces diferenciable, usaremos indistintamente las notaciones ƒ– o y–
para denotar la segunda derivada.
EJEMPLO 1 Aplicación de la prueba de concavidad
(a) La curva (figura 4.25) es cóncava hacia abajo en donde
y cóncava hacia arriba en , donde
(b) La curva y = x (figura 4.26) es cóncava hacia arriba en s - q, q d,
porque su segunda
derivada y– =2 siempre es positiva.
2
y = x s - q, 0d
y– =6x 6 0
s0, q d y– =6x 7 0.
3
EJEMPLO 2 Determinación de concavidad
Determinar la concavidad de y = 3 + sen x en [0, 2p].
Solución La gráfica de y = 3 + sen x es cóncava hacia abajo en (0, p)
donde
y– =-sen x es negativa. Es cóncava hacia arriba en sp, 2pd, donde y– =-sen x es positiva
(figura 4.27).
Puntos de inflexión
La curva y = 3 + sen x del ejemplo 2 cambia de concavidad en el punto sp, 3d. Llamamos
a sp, 3d un punto de inflexión de la curva.
DEFINICIÓN Punto de inflexión
Un punto donde la gráfica de una función tiene recta tangente y la concavidad
cambia es un punto de inflexión.
El punto de una curva donde y–
es positiva en un lado y negativa en el otro, es un punto
de inflexión. En tal punto, y– es cero (porque las derivadas tienen la propiedad del valor
intermedio), o no está definida. Si y es una función dos veces diferenciable, y– =0 en un
punto de inflexión, entonces y¿ tiene un máximo o mínimo local.