Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Trayectoria ortogonal
FIGURA 9.28 Una trayectoria ortogonal
intersecta a la familia de curvas en ángulo
recto, u ortogonalmente.
y
FIGURA 9.29 Cada recta que pasa por el
origen es ortogonal a la familia de
circunferencias con centro en el origen.
x
9.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 679
(d) ¿En qué momento la población de osos llegará a 50 miembros? Para este modelo,
La solución de la ecuación diferencial logística general
puede obtenerse como en el ejemplo 2. En el ejercicio 10 se le pedirá demostrar que la solución
es
El valor de A está determinado por una condición inicial apropiada.
Trayectorias ortogonales
Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas, es una curva que interseca en ángulo
recto, u ortogonalmente, a cada curva de la familia (figura 9.28). Por ejemplo, cada recta
que pasa por el origen es una trayectoria ortogonal de la familia de circunferencias con
centro en el origen, x (figura 9.29). Esos sistemas de curvas mutuamente or-
2 + y 2 = a2 ,
togonales son de particular importancia en problemas físicos relacionados con potencial
eléctrico, en donde las curvas de una familia corresponden al flujo de corriente eléctrica y
las de la otra familia corresponden a curvas de potencial constante. También aparecen en
problemas de hidrodinámica y de flujo de calor.
EJEMPLO 3 Determinación de trayectorias ortogonales
Determine las trayectorias ortogonales de la familia de curvas xy = a, donde a Z 0 es
una constante arbitraria.
Solución Las curvas xy = a forman una familia de hipérbolas con asíntotas y = ;x.
Primero encontramos las pendientes de cada curva en esta familia, o sus valores dy> dx.
Derivando xy = a de manera implícita, se obtiene
x dy
dx
dP
dt
50 =
1 + 9e -0.1t = 2
e -0.1t = 1
9
e 0.1t = 9
P =
t =
100
1 + 9e -0.1t
ln 9
0.1
= rsM - PdP
M
-rMt .
1 + Ae
+ y = 0 o dy
dx =-y
x .
Así, la pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) en una de las hipérbolas
xy = a es y¿ =-y>x. En una trayectoria ortogonal la pendiente de la recta tangente en
este mismo punto debe ser el recíproco negativo, o x> y. Por lo tanto, las trayectorias ortogonales
deben satisfacer la ecuación diferencial
dy
dx = x y .
L 22 años.