Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

¿A qué se debe que sea correcto suponer que P64? A que al buscar una d tal que
para toda x, x, 0 6 ƒ x - 2 ƒ 6 d implique ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6P64, encontramos una d
que también funcionaría para cualquier P más grande.
Por último, observe la libertad que obtenemos al tomar d = min E2 - 24 -P,
24 +P- 2F . De esta forma ya no tenemos que perder tiempo en decidir cuál de los dos
números es menor. Simplemente representamos el menor mediante d y continuamos para
concluir el argumento.
Uso de la definición para comprobar teoremas
Casi nunca se emplea la definición de límite para verificar límites específicos como los
que se presentaron en los ejemplos anteriores. Para ello resultan más útiles los teoremas
generales sobre límites, en particular los teoremas de la sección 2.2. La definición se utiliza,
más bien, para probar dichos teoremas (como lo haremos en el apéndice 2). A manera
de ejemplo, probaremos la parte 1 del teorema 1, es decir, la regla de la suma.
EJEMPLO 6 Comprobación de la regla para el límite de una suma
Dado que límx:c ƒsxd = L y límx:c gsxd = M, probar que
lím sƒsxd + gsxdd = L + M.
x:c
Solución Sea P > 0 dado. Queremos encontrar un número positivo d tal que para toda x
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d Q ƒƒsxd + gsxd - sL + Md ƒ 6P.
Reagrupando términos obtenemos
ƒ ƒsxd + gsxd - sL + Md ƒ = ƒ sƒsxd - Ld + sgsxd - Md ƒ
… ƒ ƒsxd - L ƒ + ƒ gsxd - M ƒ.
Como límx:c ƒsxd = L, existe un número d1 > 0 tal que para toda x
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d1 Q ƒƒsxd - L ƒ 6P>2.
De manera similar, como límx:c gsxd = M, existe un número d2 > 0 tal que para toda x
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d2 Q ƒgsxd - M ƒ 6P>2.
Sea d = mín {d 1, d 2} el menor de d 1 y d 2, Si 0 < |x – c| < d, entonces |x – c| < d 1, de manera
que |f(x) – L| < P/2, y |x – c| < d 2, de manera que |g(x) – M| < P/2. Por lo tanto,
ƒ ƒsxd + gsxd - sL + Md ƒ 6 P
2
Esto demuestra que límx:c sƒsxd + gsxdd = L + M.
Comprobemos también el teorema 5 de la sección 2.2.
EJEMPLO 7 Dado que límx:c ƒsxd = L y límx:c gsxd = M, y que ƒsxd … gsxd para
toda x en un intervalo abierto que contiene a c (excepto posiblemente la misma c), probar
que L … M.
Solución Usaremos el método de prueba por contradicción. En otras palabras, supondremos
lo contrario de lo que se afirma, es decir, que L > M. Entonces, de acuerdo con la propiedad
del límite de una diferencia del teorema 1,
lím s gsxd - ƒsxdd = M - L.
x:c
En consecuencia, para cualquier P > 0 existe d > 0 tal que
2.3 La definición formal de límite 97
+ P
2 =P.
Desigualdad del triángulo:
ƒ a + b ƒ … ƒ a ƒ + ƒ b ƒ
ƒ sgsxd - ƒsxdd - sM - Ld ƒ 6P siempre que 0 6 ƒ x - c ƒ 6 d.