Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

380 Capítulo 5: Integración
(–1, 1)
y
(x, f(x))
x
–1 0 1 2
(x, g(x))
y 2 x 2
x
y –x (2, –2)
FIGURA 5.30 La región del
ejemplo 4, con un rectángulo de
aproximación típico.
Aproximamos entonces el área de la región, sumando las áreas de los n rectángulos:
n
n
A L a ¢Ak = a [ƒsckd - gsckd] ¢xk.
k = 1 k = 1
Suma de Riemann
Cuando 7P7 : 0, las sumas de la derecha se aproximan al límite a [ƒsxd - gsxd] dx debido
a que f y g son continuas. Tomamos el área de la región como el valor de esta integral.
Esto es,
A = lím
n
a
ƒƒPƒƒ:0 k = 1
[ƒsckd - gsckd] ¢xk = [ƒsxd - gsxd] dx.
La
DEFINICIÓN Área entre curvas
Si f y g son continuas con ƒsxd Ú gsxd en todo [a, b], el área de la región entre
las curvas y = fsxd y y = gsxd de a a b es la integral de ( f - g) de a a b:
b
A = [ƒsxd - gsxd] dx.
La
Cuando se aplica esta definición, es útil dibujar las gráficas de las curvas. La gráfica revela
cuál curva es la superior f y cuál es la inferior g. También nos ayuda a encontrar los límites
de integración si aún no los conocemos. Es posible que sea necesario encontrar también
en dónde se intersecan las curvas para determinar los límites de integración, y esto
puede obligarnos a resolver la ecuación ƒsxd = gsxd para valores de x. Después podremos
integrar la función ƒ - g para el área entre las intersecciones.
EJEMPLO 4 Área entre curvas que se intersecan
Encontrar el área de la región acotada por la parábola y = 2 - x y la recta y = -x.
2
Solución Primero trazamos las dos curvas (figura 5.30). Los límites de integración se
encuentran resolviendo simultáneamente y = 2 - x y y = -xpara
x.
2
Igualar ƒ(x) y g(x).
x Reescribir.
sx + 1dsx - 2d = 0 Factorizar.
x = -1, x = 2. Resolver.
La región va de x = -1a
x = 2. Los límites de integración son a = -1, b = 2.
El área entre las curvas es
2 2 - x
- x - 2 = 0
2 = -x
A = [ƒsxd - gsxd] dx = [s2 - x
L
L-1
2d - s -xd] dx
a
2
= L
b
-1
= a4 + 4
2
s2 + x - x 2 d dx = c2x + x2
2
8
1
- b - a-2 +
3 2
2
b
x3
-
3 d 2
-1
1 9
+ b =
3 2
1 b