Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

364 Capítulo 5: Integración
Área 5
12
–1
y
y x 3 x 2 2x
0
Área ⎢
–
8 ⎢
⎢ 3 ⎢
8
3
2
FIGURA 5.23 La región entre la curva
y = x y el eje x (ejemplo 8).
3 - x2 - 2x
x
Solución La integral definida para ƒsxd = sen x está dada por
La integral definida es cero, porque las porciones de la gráfica por arriba y por debajo del
eje x hacen que las contribuciones se cancelen.
El área entre la gráfica de f(x) y el eje x en [0, 2p] se calcula dividiendo el dominio de
sen x en dos partes: el intervalo [0, p] en donde es no negativa, y el intervalo [p, 2p] en
donde es no positiva.
Lp
L0
L
0
2p
2p
p
sen x dx = -cos x d 0
sen x dx = -cos x d 0
2p
sen x dx = -cos x d p
2p
p
= -[cos 2p - cos 0] = -[1 - 1] = 0.
= -[cos p - cos 0] = -[-1 - 1] = 2.
= -[cos 2p - cos p] = -[1 - s -1d] = -2.
La segunda integral da un valor negativo. El área entre la gráfica y el eje se obtiene sumando
los valores absolutos
Resumen:
Área = ƒ 2 ƒ + ƒ -2 ƒ = 4.
Para encontrar el área entre la gráfica de y = ƒsxd y el eje x en el intervalo [a, b],
haga lo siguiente:
1. Subdivida [a, b] en los ceros de f.
2. Integre f en cada subintervalo.
3. Sume los valores absolutos de las integrales.
EJEMPLO 8 Determinación de áreas usando antiderivadas
Encontrar el área de la región entre el eje x y la gráfica de
-1 … x … 2.
ƒ(x) = x 3 - x 2 - 2x,
Solución Primero encontramos los ceros de f. Como
los ceros son x = 0, -1, y 2 (figura 5.23). Los ceros subdividen a [-1, 2] en dos subintervalos:
[-1, 0], en donde ƒ Ú 0, y [0, 2], en donde ƒ … 0. Integramos f en cada subintervalo
y sumamos los valores absolutos de las integrales calculadas.
L
0
-1
L0
2
ƒsxd = x 3 - x 2 - 2x = xsx 2 - x - 2d = xsx + 1dsx - 2d,
sx 3 - x 2 - 2xd dx = c x4
4
sx 3 - x 2 - 2xd dx = c x4
4
x3
-
3 - x2 0
d
-1
El área total acotada se obtiene sumando los valores absolutos de las integrales calculadas,
Área total acotada = 5
12
= 0 - c 1
4
x3
-
3 - x2 2
d = c4 -
0
8
3
8 37
+ ` - ` =
3 12 .
+ 1
3
- 1 d = 5
12
- 4 d - 0 =-8
3