Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y
L 2
Pendiente
m1 1 C
1 h
L 1
Pendiente m2 2 0 A D a B
FIGURA 1.15 ¢ADC es semejante a
¢CDB. En consecuencia, f1 también es el
ángulo superior en ¢CDB. A partir de los
lados de ¢CDB, vemos que tan f1 = a>h.
0
y
(x h) 2 (y k) 2 a 2
a
C(h, k)
P(x, y)
FIGURA 1.17 Un círculo con radio a en
el plano xy y centro en (h, k) .
x
x
Distancia y círculos en el plano
1.2 Rectas, círculos y parábolas 13
La distancia entre puntos en el plano se calcula a partir de la fórmula del teorema de Pitágoras
(figura 1.16).
y 2
y 1
y
Esta distancia es
x2 – x1 2 y2 – y1 2
d
(x2 – x1) 2 (y2 – y1) 2
P(x 1 , y 1)
0 x 1
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x 2 x 1
x 2
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
Q(x 2 , y 2)
y 2 y 1
C(x 2 , y 1)
FIGURA 1.16 Para calcular la distancia entre
Psx1, y1d y Qsx2, y2d, aplicamos el teorema de
Pitágoras al triángulo PCQ.
Fórmula de distancia para puntos en el plano
La distancia entre Psx1, y1d y Qsx2, y2d es
d = 2s¢xd 2 + s¢yd 2 = 2sx2 - x1d 2 + s y2 - y1d 2 .
EJEMPLO 5 Calcular la distancia entre dos puntos
(a) La distancia del origen al punto Ps -1, 2d y Q(3, 4) es
(b) La distancia entre el origen y P(x, y) es
Por definición, un círculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P(x, y) cuya
distancia desde algún punto fijo, llamado centro del círculo, C(h, k) es igual a a (figura
1.17). De acuerdo con la fórmula de la distancia, P está en el círculo si y sólo si
de manera que
2s3 - s -1dd 2 + s4 - 2d 2 = 2s4d 2 + s2d 2 = 220 = 24 # 5 = 225.
2sx - 0d 2 + s y - 0d 2 = 2x 2 + y 2 .
2sx - hd 2 + s y - kd 2 = a,
(x - h) 2 + (y - k) 2 = a 2 .
La ecuación (1) es la ecuación estándar de un círculo con centro en (h, k) y radio a. El
círculo de radio a = 1 y centro en el origen es el círculo unitario, con ecuación
x 2 + y 2 = 1.
x
(1)