Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

270 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
f' 0, f'' 0
⇒ máximo local
f' 0, f'' 0
⇒ mínimo local
La fuerza de la aceleración se dirige hacia la izquierda en el intervalo de tiempo [0, 7>3],
es cero momentáneamente en t = 7>3, y se dirige hacia la derecha después de este momento.
Prueba de la segunda derivada para extremos locales
En vez de buscar los cambios de signo en ƒ¿ en los puntos críticos, algunas veces podemos
usar la siguiente prueba para determinar la presencia y el carácter de los extremos locales.
TEOREMA 5 Prueba de la segunda derivada para extremos locales
Supongamos que ƒ– es continua en un intervalo abierto que contiene a x = c.
1. Si ƒ¿scd = 0 y ƒ–scd 6 0, f tiene un máximo local en x = c.
2. Si ƒ¿scd = 0 y ƒ–scd 7 0, f tiene un mínimo local en x = c.
3. Si ƒ¿scd = 0 y ƒ–scd = 0, la prueba falla. La función f puede tener un máximo
local, un mínimo local, o ninguno de ellos.
Demostración Parte (1). Si entonces en algún intervalo abierto I
que contenga el punto c, ya que es continua. Por lo tanto, decrece en I. Como
el signo de cambia de positivo a negativo en c, de manera que, según la
prueba de la primera derivada, f tiene un máximo local en c.
La demostración de la parte (2) es similar.
Para la parte (3), considere las tres funciones y Para cada
función, la primera y segunda derivadas son cero en Aunque la función tiene
un mínimo local ahí, tiene un máximo local, y y = x es creciente en cualquier
intervalo abierto que contenga x = 0 (no tiene máximo ni mínimo ahí). En consecuencia,
la prueba falla.
Esta prueba requiere que conozcamos ƒ– solamente en c y no en un intervalo alrededor
de c. Esto hace que la prueba sea fácil de aplicar. Ésta es la buena noticia; la mala es
que la prueba no es concluyente si ƒ– =0 o si ƒ– no existe en x = c.
Cuando pasa esto
es preciso usar la prueba de la primera derivada para valores extremos locales.
Juntas, ƒ¿ y ƒ– nos indican la forma de la gráfica de la función; esto es, nos dicen en
dónde se localizan los puntos críticos y qué pasa en un punto crítico, en dónde es creciente
y en dónde es decreciente la función, y si la curva abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo
de su concavidad. Usaremos esta información para hacer el esquema de la gráfica
de una función que tiene estas características.
3
y = -x4 y = x4 y = x
x = 0.
3 y = x .
4 , y = -x4 ƒ–scd 6 0, ƒ–sxd 6 0
ƒ–
ƒ–
ƒ¿scd = 0,
ƒ¿
,
EJEMPLO 6 Uso de ƒ¿ y ƒ– para graficar ƒ
Graficar la función
ƒsxd = x 4 - 4x 3 + 10
usando los pasos siguientes.
(a) Identificar en dónde se alcanzan los extremos de f.
(b) Encontrar los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente.
(c) Encontrar en qué parte la gráfica de f es cóncava hacia arriba y en qué parte es cóncava
hacia abajo.
(d) Dibujar la forma general de la gráfica para ƒ.