Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Carl Runge
(1856-1927)
Método de Euler mejorado
9.3 Método de Euler 663
Podemos mejorar el método de Euler tomando un promedio de dos pendientes. Primero
estimamos yn como en el método de Euler original, pero la denotamos mediante zn. Luego,
en el siguiente paso tomamos el promedio de ƒsxn - 1, yn - 1d y ƒsxn, znd en lugar de ƒsxn - 1,
. Así, calculamos la siguiente aproximación usando
yn - 1d
zn = yn - 1 + ƒsxn - 1, yn - 1d dx
yn = yn - 1 + c ƒsxn - 1, yn - 1d + ƒsxn, znd
d dx.
2
EJEMPLO 3 Investigación de la precisión del método de Euler mejorado
Utilizar el método de Euler mejorado para resolver
y¿ =1 + y, ys0d = 1,
en el intervalo comenzando en x0 = 0 y tomando Compare las
aproximaciones con los valores de la solución exacta y = 2ex 0 … x … 1,
dx = 0.1.
- 1.
Solución Utilizamos una computadora para generar los valores aproximados de la tabla
9.3. La columna “Error” se obtiene restando los valores del método de Euler mejorado, de
los valores obtenidos con la solución exacta, ambos sin redondear. Después, todas las entradas
se redondean a cuatro decimales.
TABLA 9.3 Solución con Euler mejorado para
y¿ =1 + y,
ys0d = 1, tamaño del paso
dx = 0.1
y (Euler
x mejorado) y (exacta) Error
0 1 1 0
0.1 1.21 1.2103 0.0003
0.2 1.4421 1.4428 0.0008
0.3 1.6985 1.6997 0.0013
0.4 1.9818 1.9836 0.0018
0.5 2.2949 2.2974 0.0025
0.6 2.6409 2.6442 0.0034
0.7 3.0231 3.0275 0.0044
0.8 3.4456 3.4511 0.0055
0.9 3.9124 3.9192 0.0068
1.0 4.4282 4.4366 0.0084
Para el momento en que llegamos a x = 1 (después de 10 pasos), el error relativo es
aproximadamente de 0.19%.
Comparando las tablas 9.1 y 9.3, vemos que el método de Euler mejorado es considerablemente
más preciso que el método de Euler regular, al menos para el problema de valor
inicial y¿ =1 + y, ys0d = 1.
yn