Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

646 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
La justificación de que podemos simplemente integrar ambos miembros (lados) de la
ecuación (2) tiene como fundamento la regla de sustitución (sección 5.5):
EJEMPLO 3 Resolución de una ecuación separable
Resolver la ecuación diferencial
L hs yd dy = L
Solución Como 1 + y 2 nunca es cero, podemos resolver la ecuación separando las
variables.
L
La ecuación da y como una función implícita de x. Cuando
6 e 6 p>2, podemos despejar y como una función explícita de x, tomando la tangente
de ambos lados:
x tan -p>2
+ C
-1 y = ex + C
EJEMPLO 4 Resolver la ecuación
tan stan -1 yd = tan se x + Cd
sx + 1d dy
dx = xs y 2 + 1d.
Solución Cambiamos a la forma diferencial, separamos las variables e integramos:
sx + 1d dy = xs y 2 + 1d dx
dy
y 2 + 1
= L hs ysxdd gsxd
hs ysxdd dx
= L gsxd dx.
dy
dx = s1 + y 2 de x .
dy
dx = s1 + y 2 de x
dy = s1 + y 2 de x dx
dy
1 + y 2 = e x dx
dy
1 + y 2 = L e x dx
tan -1 y = e x + C
y = tan se x + Cd.
= x dx
x + 1
dy
L 1 + y 2 = a1 -
L
hs ysxdd dy
dx dx
1
b dx
x + 1
tan -1 y = x - ln ƒ x + 1 ƒ + C.
dy gsxd
=
dx hs yd
Tratar a dy> dx como un
cociente de diferenciales y
multiplicar ambos lados
por dx.
Dividir entre s1 + y 2 d.
Integrar ambos miembros.
C representa las constantes
de integración combinadas.
x Z -1