Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

6000
5000
P
Población mundial (1980-99)
P 4454e 0.017t
4000
0 10 20
FIGURA 9.23 Observe que el valor de la
solución P = 4454e es 6152.16
cuando t = 19, cifra que es ligeramente
superior a la población real en 1999.
0.017t
t
9.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 675
donde P es la población en el instante t, es una tasa constante de crecimiento y es
el tamaño de la población en el instante En la sección 7.5 encontramos la solución
P = P0 para este modelo. Sin embargo, no podemos evitar preguntarnos ¿qué tan bueno
es el modelo?
Para iniciar una valoración del modelo, observe que la ecuación diferencial de crecimiento
exponencial indica que
dP>dt
= k
(4)
P
ekt
k 7 0
P0
t = 0.
es constante. Esta razón se denomina tasa de crecimiento relativo. Ahora bien, la tabla
9.4 proporciona la población mundial, a mitad de año, para los años 1980 a 1989. Tomando
dt = 1 y dP L¢P, de acuerdo con la tabla vemos que la tasa de crecimiento relativo
en la ecuación (4) es aproximadamente la constante 0.017. En consecuencia y con base en
los datos tabulados, con t = 0 representando 1980, t = 1 representando 1981 y así sucesivamente,
la población mundial podría modelarse por medio de
Ecuación diferencial:
Condición inicial: Ps0d = 4454.
dP
= 0.017P
dt
TABLA 9.4 Población mundial (medio año)
Población
Año (millones)
1980 4454
1981 4530
1982 4610
1983 4690
1984 4770
1985 4851
1986 4933
1987 5018
1988 5105
1989 5190
¢P>P
76>4454 L 0.0171
80>4530 L 0.0177
80>4610 L 0.0174
80>4690 L 0.0171
81>4770 L 0.0170
82>4851 L 0.0169
85>4933 L 0.0172
87>5018 L 0.0173
85>5105 L 0.0167
Fuente: Oficina de Censos de los Estados Unidos (septiembre de
1999): www.census.gov/ipc/www/worldpop.html.
La solución a este problema de valor inicial proporciona la función de población
P = 4454e En el año 1999 (con t = 19),
la solución predice que la población mundial
a mitad de año será de 6152 millones (figura 9.23), cifra superior a la de la población
real, que es de 6001 millones, según la Oficina de Censos de los Estados Unidos (tabla
9.5). Examinemos información más reciente para ver si existe un cambio en la tasa de
crecimiento).
La tabla 9.5 muestra la población mundial para los años 1990 a 2002. De acuerdo con
los datos de la tabla, vemos que la tasa de crecimiento relativo es positiva pero disminuye
0.017t .