Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

262 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
Teoría y ejemplos
51. La media geométrica de a y b La media geométrica de dos
números positivos a y b es el número Demuestre que el valor
de c en la conclusión del teorema del valor medio para
en un intervalo de números positivos [a, b] es
52. La media aritmética de a y b La media aritmética de dos números
a y b es el número Pruebe que el valor de c en
la conclusión del teorema del valor medio para ƒsxd = x en
cualquier intervalo [a, b] es c = sa + bd>2.
53. Grafique la función
2
2ab.
ƒsxd = 1>x
[a, b] es c = 2ab.
sa + bd>2.
T
ƒsxd = sen x sen sx + 2d - sen 2 sx + 1d.
¿Qué hace la gráfica? ¿Por qué se comporta así la función? Justifique
sus respuestas.
54. El teorema de Rolle
a. Construya una función polinomial f (x) que tenga ceros en
x = -2, -1, 0, 1, y 2.
b. Trace en el mismo sistema de coordenadas f y su derivada ƒ¿ .
¿En qué se relaciona lo que ve con el teorema de Rolle?
c. ¿ gsxd = sen x y su derivada g¿ ilustran el mismo fenómeno?
55. Solución única Suponga que f es continua en [a, b] y diferenciable
en (a, b). Suponga también que f (a) y f (b) tienen signos
opuestos y que ƒ¿ Z0 entre a y b. Demuestre que ƒsxd = 0
exactamente una vez entre a y b.
56. Tangentes paralelas Suponga que f y g son diferenciables en
[a, b] y que ƒsad = g sad y ƒsbd = gsbd. Demuestre que existe
por lo menos un punto entre a y b donde las tangentes a las gráficas
de f y g son paralelas o son la misma recta. Ilustre con un
boceto.
4.3
57. Si las gráficas de dos funciones diferenciables f(x) y g(x) empiezan
en el mismo punto del plano, y las funciones tienen la misma
razón de cambio en todo punto, ¿las gráficas tienen que ser idénticas?
Justifique su respuesta.
58. Pruebe que para cualesquiera números a y b la desigualdad |sen
ƒ sen b - sen a ƒ … ƒ b - a ƒ es cierta.
59. Suponga que f es diferenciable en a … x … b y que ƒsbd 6 ƒsad.
Demuestre que ƒ¿ es negativa en algún punto entre a y b.
60. Sea f una función definida en un intervalo [a, b]. ¿Qué condiciones
tiene que reunir f para garantizar que
mín ƒ¿ …
ƒsbd - ƒsad
b - a
… máx ƒ¿ ,
donde y son los valores mínimo y máximo de
en [a, b]? Justifique sus respuestas.
61. Use las desigualdades del ejercicio 60 para estimar si
para y
62. Use las desigualdades del ejercicio 60 para estimar si
para y
63. Sea f diferenciable en todo valor de x, y suponga que
que y que
a. Demuestre que para toda x.
b. ¿Es posible que Explique.
64. Sea ƒsxd = px una función cuadrática definida en
un intervalo cerrado [a, b]. Demuestre que existe exactamente un
punto c en (a, b) en el que f satisface la conclusión del teorema
del valor medio.
2 1>s1 - x 0 … x … 0.1 ƒs0d = 1.
ƒs1d = 1,
ƒ¿ 60 en s - q, 1d, ƒ¿ 70 en s1, q d.
ƒsxd Ú 1
ƒ¿s1d = 0?
+ qx + r
4 1>s1 + x 0 … x … 0.1 ƒs0d = 1.
ƒs0.1d
ƒ¿sxd = d
4 mín ƒ¿ máx ƒ¿
ƒ¿
T
ƒs0.1d
ƒ¿sxd = cos xd
T
Funciones monótonas y el criterio de la primera derivada
Para graficar una función diferenciable es útil conocer en dónde crece (es decir, en dónde
se eleva de izquierda a derecha), y en dónde decrece (es decir, en dónde cae de izquierda a
derecha) en un intervalo. En esta sección se define precisamente qué significa que una
función sea creciente o decreciente en un intervalo, y se da un criterio para determinar en
dónde crece y en dónde decrece. También se muestra cómo verificar que los puntos críticos
de una función resultan ser valores extremos locales.
Funciones crecientes y funciones decrecientes
¿Qué clase de funciones tiene derivadas positivas o derivadas negativas? El tercer corolario
del teorema del valor medio nos da la respuesta: las únicas funciones con derivadas positivas
son las funciones crecientes; las únicas funciones con derivadas negativas son las
funciones decrecientes.