Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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166 Capítulo 3: Derivadas Solución Aplicamos la regla del cociente con y y = t 2 u = t + 1: 2 - 1 Demostración de la regla 6 d dx au usx + hd ysx + hd y b = lím h:0 h Para convertir la última fracción en una equivalente que contenga los cocientes de diferencias para las derivadas de u y y, restamos y sumamos y(x)u(x) en el numerador, obteniendo d dx au ysxdusx + hd - ysxdusxd + ysxdusxd - usxdysx + hd y b = lím h:0 hysx + hdysxd usx + hd - usxd ysxd h = lím h:0 Tomando el límite en el numerador y en el denominador, obtenemos la regla del cociente. Potencias enteras negativas de x dy dt = st 2 + 1d # 2t - st 2 - 1d # 2t st 2 + 1d 2 = 2t 3 + 2t - 2t 3 + 2t st 2 + 1d 2 = 4t st 2 . 2 + 1d - usxd ysxd ysxdusx + hd - usxdysx + hd = lím h:0 hysx + hdysxd - usxd ysx + hdysxd d dt au ysdu>dtd - usdy>dtd y b = y2 ysx + hd - ysxd h La regla de potencias para enteros negativos es la misma que para enteros positivos. REGLA 7 Regla de potencias para enteros negativos Si n es un entero negativo y x Z 0, entonces EJEMPLO 11 d dx sxn d = nx n - 1 . d (a) Coincide con el ejemplo 3, sección 2.7 dx a1 d x b = dx sx -1d = s -1dx -2 =- 1 x2 (b) d dx 4 d a b = 4 3 x dx sx -3d = 4s -3dx -4 =- 12 x4 .
4 3 2 1 0 y y x 2 x (1, 3) 1 2 y <strong>–</strong>x 4 FIGURA 3.11 La tangente a la curva y = x + s2>xd en (1, 3) del ejemplo 12. La curva tiene una parte en el tercer cuadrante que no se muestra aquí. En el capítulo 4 veremos cómo graficar funciones como ésta. 3 x Demostración de la regla 7 Usaremos la regla del cociente para esta demostración. Si n es un entero negativo, entonces n = <strong>–</strong>m, donde m es un entero positivo. En consecuencia, x y n = x-m = 1>xm d dx sxnd = d dx EJEMPLO 12 Tangente a una curva Encontrar una ecuación para la tangente a la curva en el punto (1, 3) (figura 3.11). Solución La pendiente de la curva es dy dx La pendiente en x = 1 es -m - 1 = -mx = nx n - 1 . dy dx ` x = 1 La recta que pasa por (1, 3) con pendiente m = -1es Regla del cociente con y y = xm u = 1 Ya que Ya que -m = n d d = sxd + 2 dx dx a1 1 2 x b = 1 + 2 a- b = 1 - 2 x x Ecuación punto-pendiente Al resolver problemas de diferenciación, la elección de cuáles reglas usar puede hacer la diferencia entre trabajar mucho o no. Veamos el ejemplo siguiente. EJEMPLO 13 Elección de la regla a usar En lugar de usar la regla del cociente para encontrar la derivada de expandimos el numerador y dividimos entre x 4 : = = 0 - mxm - 1 x 2m y = sx - 1dsx2 - 2xd x 4 a 1 x m b x m # d dx A1B - 1 # d dx Axm B sx m d 2 y = x + 2 x = c1 - 2 x 2 d x = 1 y - 3 = s -1dsx - 1d y = -x + 1 + 3 y = -x + 4. y = sx - 1dsx2 - 2xd x4 , = x3 - 3x 2 + 2x x 4 3.2 Reglas de diferenciación 167 = 1 - 2 = -1. m 7 0, d dx sxm m - 1 d = mx 2 . = x -1 - 3x -2 + 2x -3 .
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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FIGURA 6.11, página 402 Determinac
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Agradecemos a todos los profesores
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1.1 Capítulo 1 PRELIMINARES INTROD
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Las expansiones decimales finitas r
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1 2 (a) 1 2 (b) FIGURA 1.4 Los conj
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1.2 Eje y positivo Eje x negativo E
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6 L2 4 3 2 1 0 1 y y P 1 (0, 5) P 1
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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x -2 4 -1 1 0 0 1 1 3 2 y x 2 9 4
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ƒsxd = x + 1 Modelos matemáticos
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1.5 Combinación de funciones; tras
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En los ejercicios 19-28 se establec
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SE sen pos. TA tan pos. y TO todos
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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2.1 Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUI
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Desde el punto de vista geométrico
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x 0 (a) Función identidad k 0 y y
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Es fácil convencernos de que las p
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L 1 10 L L 1 10 0 y y f(x) x 0 L
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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2 y y 4 x 2 0 2 FIGURA 2.23 lím
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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4 3 2 1 y 1 x y 1 0 1 1 2 3 4 FIGU
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2 1 y 5 0 5 10 1 2 y 5x2 8x 3 3x
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4 2 4 2 2 4 y y 2x2 3 7x 4 FIGUR
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7. a. Grafique b. Encuentre y límx
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Page 153 and 154: O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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Automóvil Cámara 132' 33. Una cap
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Capítulo 3 Preguntas de repaso 1.
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c. ¿Cómo se relaciona dS>dt con d
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. Encuentre los valores para b y c
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26. Regla de Leibniz para derivadas
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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-2 -1 (-2, -32) 7 -32 y (1, 7) y 8
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(c) Una solución intermedia 12 mil
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-1 (-1, -3) 1 y (1, 5) y x 3 3x
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y y x2 C C 2 2 1 0 -1 -2 C 1 C
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. Use el teorema de Rolle para prob
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Función decreciente y y x 2 Funci
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y'' 0 -1 2 1 0 y y x 4 1 FIGURA 4
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-1 1 Punto de inflexión donde x 3
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2r FIGURA 4.34 Esta lata de 1 litro
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y c(x) x 3 6x 2 15x r(x) 9x 0 2
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T b. Grafique el volumen de una caj
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38. Dos masas cuelgan de igual núm
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Teoría y ejemplos 53. Una desigual
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Precaución Para aplicar la regla d
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0 y x 0 (x n , f(x n )) FIGURA 4.49
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4.8 Antiderivadas 4.8 Antiderivadas
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y x 2 3 C C 1 C 0 1 0 -1 -2 y (
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43. 44. L s4 sec x tan x - 2 sec2 x
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T b. Suponga que la posición s del
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Tanque lleno, parte superior h y 0
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1 0 1 0 y y y 1 x 2 (a) y 1 x 2
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6 4 2 0 y f(x) 3x 1 2 3 FIGURA 5.6
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Área EJERCICIOS 5.1 Resumen En los
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EJEMPLO 2 Uso de diferentes valores
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El ancho del primer subintervalo [x
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Exprese las sumas de los ejercicios
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Cuando se satisface la definición,
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cambiaría, así como el signo del
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En resumen, todas las sumas de Riem
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a 0 y a a y x b a FIGURA 5.13 El
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Uso de las propiedades y los valore
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78. Sumas superior e inferior para
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Antes de probar el teorema 4, veamo
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De acuerdo con el teorema del valor
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a. ¿Cuál es la velocidad de la pa
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5.5 Las integrales indefinidas y la
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La regla de sustitución proporcion
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Regla de Leibniz En las aplicacione
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Capítulo 5 Proyectos de aplicació
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0 y a S x k1 xk FIGURA 6.3 Una plac
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Cómo determinar el centro de masa
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1 8 0 - 1 8 y y x 3 NO ESTÁ A ESC
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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y a y Superficie del fluido Placa v
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a. Determine la fuerza del fluido c
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27. Determine el centroide de una p
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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El proceso de pasar de f a f -1 pue
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y y f(x) b f(a) (a, b) 0 a x 7.1
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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5. ¿Qué es la función logaritmo
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99. ¿Verdadero o falso? Justifique
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17. Utilice la figura siguiente par
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8.1 Capítulo 8 TÉCNICAS DE INTEGR
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Solución EJEMPLO 2 Completar el cu
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA George David
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Para el término que incluye a cos
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EJERCICIOS 8.4 y Productos de senos
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x tan a -1 -1 -1 2 - 2 2 - 2
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5x 25x 2 4 2 FIGURA 8.6 Si entonc
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EJERCICIOS 8.5 Sustituciones trigon
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8.6 8.6 Tablas de integrales y sist
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Solución Utilizamos la fórmula 99
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Con n = 3 y a = 1, tenemos El resul
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También se puede hallar la integra
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Sustitución y tablas de integrales
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111. a. Utilice un software matemá
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y y x 2 1 0 1 25 16 5 4 36 16 6 4
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2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Thomas Simpso
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gular no podemos determinar el valo
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146 pies 122 pies 76 pies 54 pies 4
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28. Abastecimiento de un estanque d
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Utilice las funciones Trace o Zoom
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Área de una superficie Determine,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Lejeune Diric
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1 0 y a y 1 x Área 2 2a 1 FIGUR
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Solución L2 q x + 3 sx - 1dsx 2 dx
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1 y y e -x2 (1, e -1 ) 0 1 b y e
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1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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EJERCICIOS 8.8 Evaluación de integ
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T a. Dibuje la gráfica de f. Deter
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43. 44. L sen3 u cos2 u sen3 du u d
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Integrales impropias Evalúe las in
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T 24. Determinación de un volumen
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o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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FIGURA 9.4 La razón a la que sale
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
Page 733 and 734:
7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
Page 735 and 736:
Ejercicios prácticos, páginas 388
Page 737 and 738:
Ejercicios de práctica, páginas 4
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13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
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Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
Page 743 and 744:
Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
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71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
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3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
Page 749:
Ejercicios prácticos, páginas 682
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I-2 Índice Calculadoras, graficaci
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I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
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I-6 Índice implícitamente, 205-20
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I-8 Índice Leyes de los exponentes
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I-10 Índice Problema de primer ord
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I-12 Índice en integrales múltipl
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Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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