Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

66. a. Grafique la función
b. ¿ f es continua en x = 0?
c. ¿ f es diferenciable en x = 0?
Justifique sus respuestas.
67. a. Grafique la función
b. ¿ f es continua en x = 1?
c. ¿ f es diferenciable en x = 1?
Justifique sus respuestas.
68. ¿Para qué valor o valores de la constante m, si hay alguno,
a. continua en x = 0?
b. diferenciable en x = 0?
Justifique sus respuestas.
x, -1 … x 6 0
ƒsxd = e
tan x, 0 … x … p>4.
x, 0 … x … 1
ƒsxd = e
2 - x, 1 6 x … 2.
sen 2x, x … 0
ƒsxd = e
mx, x 7 0
Pendientes, tangentes y normales
69. Tangentes con pendiente específica. ¿Hay algún punto en la
curva y = sx>2d + 1>s2x - 4d donde la pendiente sea -3>2?
De ser así, encuéntrelo(s).
70. Tangentes con pendiente específica. ¿Hay algún punto en la curva
y = x - 1>s2xd donde la pendiente sea 3? De ser así, encuéntrelo(s).
71. Tangentes horizontales Encuentre los puntos de la curva
2x donde la tangente es paralela al eje x.
3 - 3x2 y =
- 12x + 20
72. Intersección de la tangente con los ejes Encuentre la intersección
con el eje x y con el eje y de la recta que es tangente a la curva
y = x en el punto s -2, -8d.
3
73. Tangentes perpendiculares o paralelas a rectas Encuentre los
puntos de la curva y = 2x donde la tangente
es
a. perpendicular a la recta y = 1 - sx>24d.
b. paralela a la recta y = 22 - 12x.
74. Intersección de tangentes Demuestre que las tangentes a la
curva y = sp sen xd>x en x = p y x = -pse
intersecan en ángulos
rectos.
75. Normales paralelas a una recta Encuentre los puntos en la
curva y = tan x, -p>2 6 x 6 p>2, donde la normal es paralela a
la recta y = -x>2. Trace juntas la curva y las normales, y etiquete
cada una con su ecuación.
3 - 3x 2 - 12x + 20
76. Rectas tangente y normal Encuentre las ecuaciones para la
tangente y la normal a la curva y = 1 + cos x en el punto
sp>2, 1d. Dibuje juntas la curva, la tangente y la normal, y señale
cada una con su ecuación.
77. Parábola tangente La parábola y = x debe ser tangente
a la recta y = x. Encuentre C.
2 + C
78. Pendiente de la tangente Demuestre que la tangente a la curva
y = x 3 en cualquier punto corta a la curva nuevamente en un
punto donde la pendiente es cuatro veces la pendiente en sa, a3 sa, a
d.
3 d
79. Curva tangente ¿Para qué valores de c la curva y = c>sx + 1d
es tangente a la recta que pasa por los puntos s0, 3d y s5, -2d?
80. Normal a un círculo Demuestre que la recta normal en cualquier
punto del círculo x pasa por el origen.
2 + y 2 = a 2
Tangentes y normales a curvas definidas
implícitamente
En los ejercicios 81 a 86, encuentre las ecuaciones de las rectas que
son tangente y normal a la curva en el punto dado.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87. Encuentre la pendiente de la curva x en los
puntos (1, 1) y s1, -1d.
88. La gráfica que se muestra sugiere que la curva y = sen
sx - sen xd debe tener tangentes horizontales al eje x. ¿Es así?
Justifique su respuesta.
3 y 3 + y 2 x
= x + y
3>2 + 2y 3>2 s y - xd
x + 1xy = 6, s4, 1d
= 17, s1, 4d
2 x
xy + 2x - 5y = 2, s3, 2d
= 2x + 4, s6, 2d
3 + y 2 x
= 2, s1, 1d
2 + 2y 2 = 9, s1, 2d
2
Tangentes a curvas parametrizadas
En los ejercicios 89 y 90, encuentre la ecuación para la recta en el plano
xy que es tangente a la curva en el punto correspondiente al valor
dado de t. También encuentre el valor de d en ese punto.
2y>dx2 89.
90. x = 1 + 1>t 2 x = s1>2d tan t, y = s1>2d sec t, t = p>3
, y = 1 - 3>t, t = 2
Análisis de gráficas
Capítulo 3 Ejercicios de práctica 237
y
1
0
1
y sen (x sen x)
2
Cada una de las figuras en los ejercicios 91 y 92 muestra dos gráficas,
la de una función y = ƒsxd y la de su derivada ƒ¿sxd. ¿Cuál gráfica es
cuál? ¿Cómo lo sabe?
x