Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y x
2
3 C C 1
C 0
1
0
–1
–2
y
(1, –1)
C 2
C –1
C –2
FIGURA 4.54 Las curvas
llenan el plano coordenado sin traslaparse.
En el ejemplo 5, identificamos la curva
y = x como una que pasa por el
punto dado s1, -1d.
3 y = x
- 2
3 + C
x
2. Evaluar C:
La curva que queremos es y = x (figura 4.54).
3 - 2
4.8 Antiderivadas 311
Condición inicial ys1d = -1
La antiderivada general (que es x en el ejemplo 5) de la función f (x)
da la solución general y = Fsxd + C de la ecuación diferencial dy>dx = ƒsxd. La solución
general da todas las soluciones de la ecuación (hay una infinidad, una por cada valor
de C). Resolvemos la ecuación diferencial encontrando su solución general. Después resolvemos
el problema de valor inicial encontrando la solución particular que satisface la
condición inicial ysx0d = y0.
3 Fsxd + C + C
Antiderivadas y movimiento
Hemos visto que la derivada de la posición de un objeto da su velocidad, y la derivada de
la velocidad da su aceleración. Si conocemos la aceleración de un objeto, encontrando una
antiderivada podemos recuperar la velocidad y, a partir de la antiderivada de la velocidad,
podemos recuperar su función posición. Este procedimiento se usa como una aplicación
del corolario 2 que se mencionó en la sección 4.2. Ahora que tenemos una terminología y
un marco de trabajo conceptual en términos de las antiderivadas, nos ocuparemos nuevamente
del problema desde el punto de vista de ecuaciones diferenciales.
EJEMPLO 6 Lanzamiento de un paquete desde un globo en ascenso
Un globo que está subiendo a razón de 12 pies> seg está a una altura de 80 pies sobre el
suelo cuando se lanza un paquete desde él. ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar
al suelo?
Solución Sea (t) la velocidad del paquete en el tiempo t, y sea s(t) su altura sobre el
suelo. La aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra es 32 pies>seg
Suponiendo que no actúan otras fuerzas en el paquete lanzado, tenemos
2 y
.
dy
dt
Esto conduce al problema de valor inicial.
y = x 3 + C
-1 = s1d 3 + C
C = -2.
Ecuación diferencial: dy
dt
Condición inicial: ys0d = 12,
que es nuestro modelo matemático para el movimiento del paquete. Resolvemos este problema
de valor inicial para obtener la velocidad del paquete.
1. Resolver la ecuación diferencial: La fórmula general para la antiderivada de -32 es
y = -32t + C.
Habiendo encontrado la solución general de la ecuación diferencial, usamos la condición
inicial para determinar la solución particular que resuelva nuestro problema.
2. Evaluar C:
12 = -32s0d + C
C = 12.
= -32.
Es negativo, porque la gravedad
actúa en la dirección de
decrecimiento de s.
= -32
Condición inicial ys0d = 12