Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

650 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
En los ejercicios 31 y 32, obtenga un campo de pendientes y grafique
la solución particular en el intervalo que se especifica. Utilice la función
de su software matemático (CAS DE) para determinar la solución
general de la ecuación diferencial.
31. Una ecuación logística y¿ =ys2 - yd, ys0d = 1>2;
0 … x … 4, 0 … y … 3
32. y¿ =ssen xdssen yd, ys0d = 2; -6 … x … 6, -6 … y … 6
Los ejercicios 33 y 34 no tienen solución explícita en términos de funciones
elementales. Utilice un software matemático para explorar gráficamente
cada una de las ecuaciones diferenciales.
33. y¿ =cos s2x - yd, ys0d = 2; 0 … x … 5, 0 … y … 5;
ys2d
34. Una ecuación de Gompertz y¿ =ys1>2 - ln yd, ys0d = 1>3;
0 … x … 4, 0 … y … 3; ys3d
35. Utilice un software matemático para determinar las soluciones de
y¿ +y = ƒsxd sujeta a la condición inicial y(0) = 0, si f (x) es
9.2
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
a. 2x b. sen 2x c. d. 2e
Grafique las cuatro funciones en el intervalo -2 … x … 6 para
poder comparar los resultados.
36. a. Utilice un software matemático para dibujar el campo de pendientes
de la ecuación diferencial
-x>2 3e cos 2x.
x>2
y¿ = 3x2 + 4x + 2
2s y - 1d
en la región -3 … x … 3 y -3 … y … 3.
b. Separe las variables y utilice el integrador del software matemático
para determinar la solución general en forma implícita.
c. Por medio del graficador de funciones implícitas de su software
matemático, trace las curvas solución para los valores
de la constante arbitraria C = -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6.
d. Determine y grafique la solución que satisface la condición
inicial ys0d = -1.
La ecuación de crecimiento decrecimiento exponencial dy dx = ky (sección 7.5) es una
ecuación diferencial separable. También es un caso especial de una ecuación diferencial que
tiene forma lineal. Las ecuaciones diferenciales lineales modelan varios fenómenos del mundo
real, que incluyen problemas de circuitos eléctricos y de mezcla de sustancias químicas.
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es aquella que puede escribirse en la
forma
(1)
en donde P y Q son funciones continuas de x. La ecuación (1) es la forma estándar de la
ecuación lineal.
Como la ecuación de crecimiento/decrecimiento exponencial puede ponerse en la forma
estándar
vemos que es una ecuación lineal con P(x) = –k y Q(x) = 0. La ecuación (1) es lineal
(en y), ya que y y su derivada dy dx sólo aparecen a la primera potencia, no se multiplican
entre sí y no aparecen como el argumento de una función (tal como sen y, e y >
>
dy
+ Psxdy = Qsxd,
dx
dy
- ky = 0,
dx
>
o 2dy>dx).
EJEMPLO 1 Determinación de la forma estándar
Escribir la ecuación siguiente en forma estándar:
Solución
x dy
dx = x2 + 3y, x 7 0.
dy
dx - 3 x y = x
dy
dx = x + 3 x y
x dy
dx = x2 + 3y
Dividir entre x
Forma estándar con P(x) = –3/x
y Q(x) = x.