Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Extremos absolutos en intervalos cerrados finitos
En los ejercicios 15 a 30, encuentre los valores máximo y mínimo absolutos
de cada función en el intervalo dado. Después grafique la función.
Identifique en la gráfica los puntos en dónde se alcanzan los
extremos absolutos e incluya sus coordenadas.
15.
16.
17.
18.
19. Fsxd =- 1
ƒsxd = 4 - x
, 0.5 … x … 2
2 x 2 ƒsxd = x
, -3 … x … 1
2 ƒsxd =
ƒsxd = -x - 4, -4 … x … 1
- 1, -1 … x … 2
2
x - 5, -2 … x … 3
3
20.
21.
22.
23.
24. gsxd = -25 - x2 gsxd = 24 - x
, - 25 … x … 0
2 hsxd = -3x
, -2 … x … 1
2>3 hsxd = 2
, -1 … x … 1
3 Fsxd =-
x, -1 … x … 8
1 x , -2 … x … -1
25.
26.
27.
28.
ƒsud = sen u, - p
2
ƒsud = tan u, - p
3
gsxd = csc x, p
3
gsxd = sec x, - p
3
… u … 5p
6
… u … p
4
… x … 2p
3
… x … p
6
29.
30.
En los ejercicios 31 a 34, encuentre los valores máximo y mínimo absolutos
de la función y diga en dónde se alcanzan.
31.
32.
33.
34. hsud = 3u 2>3 gsud = u
, -27 … u … 8
3>5 ƒsxd = x
, -32 … u … 1
5>3 ƒsxd = x
, -1 … x … 8
4>3 ƒ ƒ
ƒ ƒ
ƒstd = 2 - t , -1 … t … 3
ƒstd = t - 5 , 4 … t … 7
, -1 … x … 8
Determinación de valores extremos
En los ejercicios 35 a 44, encuentre los valores extremos de la función
y especifique en dónde se alcanzan.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44. y =
x + 1
x 2 x
y =
x + 2x + 2
2 y = 23 + 2x - x
+ 1
2
y =
1
2 3 1 - x 2
y =
1
21 - x2 y = 2x 2 y = x
- 1
3 - 3x2 y = x + 3x - 2
3 + x2 y = x
- 8x + 5
3 y = 2x - 2x + 4
2 - 8x + 9
4.1 Valores extremos de una ecuación 253
Extremos locales y puntos críticos
En los ejercicios 45 a 52, encuentre la derivada en cada punto crítico y
determine los valores extremos locales.
45. 46.
47. 48. y = x 2 y = x24 - x 23 - x
2
y = x 2>3 sx 2 y = x - 4d
2>3 sx + 2d
4 - 2x, x … 1
49. y = e 50.
x + 1, x 7 1
51.
52.
y = e -x2 - 2x + 4, x … 1
-x 2 + 6x - 4, x 7 1
1
-
y = •
4 x2 - 1
2
En los ejercicios 53 y 54 justifique sus respuestas.
53. Sea
a. ¿ existe?
b. Demuestre que el único valor extremo local de f se alcanza en
c. ¿El resultado del inciso (b) contradice el teorema del valor
extremo?
d. Repita los incisos (a) y (b) para reemplazando
2 por a.
54. Sea ƒsxd = ƒ x
a. ¿ ƒ¿s0d existe?
b. ¿ ƒ¿s3d existe?
c. ¿ ƒ¿s -3d existe?
d. Determine todos los extremos de f.
3 ƒsxd = sx - ad
- 9x ƒ .
2>3 ƒsxd = sx - 2d
ƒ¿s2d
x = 2.
,
2>3 .
Aplicaciones de optimización
Siempre que se quiera maximizar o minimizar una función de una sola
variable, lo mejor es graficar la función sobre el dominio que sea
apropiado para el problema que se esté resolviendo. La gráfica nos dará
información importante antes de empezar los cálculos, y proveerá
un contexto visual para entender la respuesta.
55. Construcción de una tubería Los buques cisterna cargan petróleo
en un muelle ubicado a 4 millas de la costa. La refinería
más próxima está a 9 millas al este del punto de la costa más cercano
al muelle. Se debe construir una tubería que conecte el muelle
con la refinería. La tubería cuesta $300,000 por milla si se
construye debajo del agua, y $200,000 por milla si se hace en tierra.
4 millas
15
x + , x … 1
4
x 3 - 6x 2 + 8x, x 7 1
Muelle
A B Refinería
9 millas
3 - x, x 6 0
y = e
3 + 2x - x2 , x Ú 0
Orilla
a. Localice el punto B para minimizar el costo de la construcción.