Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

8.2
Integración por partes
Como
y
es claro que
L x2 dx = 1
3 x3 + C,
L x # x dx Z L x dx # L x dx.
8.2 Integración por partes 561
En otras palabras, la integral de un producto en general no es el producto de las integrales:
L ƒsxdgsxd dx no es igual a L ƒsxd dx # L gsxd dx.
La integración por partes es una técnica para simplificar integrales de la forma
ƒsxdgsxd dx.
L
Esto es útil cuando f puede diferenciarse repetidamente y g puede integrarse repetidamente
sin dificultad. La integral
L xex dx
es un ejemplo de lo anterior, ya que f (x) = x puede diferenciarse dos veces para convertirse
en cero, y g(x) = e x puede integrarse de manera repetida sin dificultad. La integración
por partes también se aplica a integrales como
L ex sen x dx
en las que cada parte del integrando vuelve a aparecer después de diferenciaciones e integraciones
sucesivas.
En esta sección describiremos la integración por partes y mostraremos cómo aplicarla.
Regla del producto en forma de integral
Si f y g son funciones diferenciables de x, la regla del producto establece que
d
[ƒsxdgsxd] = ƒ¿sxdgsxd + ƒsxdg¿sxd.
dx
En términos de integrales indefinidas, esta ecuación se transforma en
L
x dx = 1
2 x2 + C
L d
dx [ƒsxdgsxd] dx = [ƒ¿sxdgsxd + ƒsxdg¿sxd] dx
L