Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

TABLA 7.9 Identidades para las
funciones hiperbólicas inversas
sech -1 x = cosh -1 1 x
csch -1 x = senh -1 1 x
coth -1 x = tanh -1 1 x
–6 –4 –2
2
1
y
(a)
y senh x y x
2 4 6
y senh –1 x
(x senh y)
x
7.8 Funciones hiperbólicas 539
La tangente, cotangente y cosecante hiperbólicas son inyectivas en sus dominios y,
por lo tanto, tienen inversas, denotadas por
y = tanh -1 x, y = coth -1 x, y = csch -1 x.
Estas funciones se grafican en la figura 7.33.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
0
y cosh x,
x 0 y x
y
y sech
y x
3
–1 x
(x sech y,
y 0)
y cosh
x
1 2 3 4 5 6 7 8
–1 x
(x cosh y, y 0)
(b) (c)
2
1
0
y sech x
x 0
x
1 2 3
FIGURA 7.32 Gráficas de seno, coseno y secante hiperbólicos inversos de x. Observe las simetrías con respecto
de la recta y = x.
x tanh y
y tanh –1 x
–1 0 1
y
(a)
x
x coth y
y coth –1 x
y
–1 0 1
(b)
x
x csch y
y csch –1 x
FIGURA 7.33 Gráficas de tangente, cotangente y cosecante hiperbólicas inversas de x.
Identidades útiles
Las identidades de la tabla 7.9 se utilizan para obtener, con ayuda de una calculadora, los
valores de y , que sólo dan cosh –1 x, senh –1 x y tanh –1 coth x. Estas
identidades son consecuencia directa de las definiciones. Por ejemplo, si 0 6 x … 1,
entonces
-1 sech x
-1 x, csch-1 x
sech acosh-1 a 1 x bb =
1
cosh acosh -1 a 1 x bb
=
1
a 1 x b
= x
0
y
(c)
x