Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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634 Capítulo 8: Técnicas de integración 7. Cuando el grado de un polinomio f (x) es menor que el grado de un polinomio g(x), ¿cómo se escribe f (x) > g(x) como una suma de fracciones parciales, si g(x) a. es un producto de factores lineales distintos? b. consiste de un factor lineal repetido? c. contiene un factor cuadrático irreducible? ¿Qué debe hacer si el grado de fnoes menor que el grado de g? 8. Si un integrando es un producto de la forma sen n x cos m x, en donde m y n son enteros no negativos, ¿cómo se evalúa la integral? Proporcione un ejemplo específico de cada caso. 9. ¿Qué sustituciones se hacen para evaluar integrales de sen mx sen nx, sen mx cos nx y cos mx sen nx? Proporcione un ejemplo de cada caso. 10. ¿Qué sustituciones se utilizan en ocasiones para transformar integrales que incluyen y 2x en integrales que puedan evaluarse de manera directa? Proporcione un ejemplo de cada caso. 11. ¿Qué restricciones puede poner a las variables que se incluyen en las tres sustituciones trigonométricas básicas, para asegurar- 2 - a 2 2a 2 - x 2 , 2a 2 + x 2 Capítulo 8 Ejercicios de práctica Integración por medio de sustituciones Evalúe las integrales en los ejercicios 1 a 82. Para transformar cada integral en una forma básica, podría ser necesario utilizar una o más de las técnicas de sustitución algebraica, completar el cuadrado, separación de fracciones, división larga o sustitución trigonométrica. 1. 2. L 6x23x2 + 5 dx L x24x2 - 9 dx 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2t dt L t 4 t L + 1 3 dt 29 - 4t 4 L y 3 dy 4 + y 4 y dy L 25 + y 2 x dx L 29 - 4x2 x dx L 28x2 L + 1 xs1 - xd-1>2 L dx xs2x + 1d1>2 dx 11. 12. 13. 14. 15. 16. cos 2t L 1 + sen 2t dt sen t L 3 + 4 cos t dt cos u du L s1 + sen ud1>2 sen 2u du L s1 - cos 2ud 2 L z -1>5s1 + z4>5d-1>2 L dz z2>3sz 5>3 + 1d2>3 dz 17. 18. sec x tan x e L sec x dx L sen 2x ecos 2x dx se de que las sustituciones sean reversibles (es decir, que tengan inversas)? 12. ¿Cómo se utilizan las tablas típicas de integrales? ¿Qué hacer si una integral particular que se quiere evaluar no está en la tabla? 13. ¿Qué es una fórmula de reducción? ¿Cómo se deducen las fórmulas de reducción típicas? ¿Cómo se utilizan las fórmulas de reducción? Proporcione un ejemplo. 14. Usted está colaborando para producir un breve manual de cómo hacer integración numérica, y está escribiendo acerca de la regla del trapecio. (a) ¿Qué diría acerca de la regla y cómo usarla? ¿Cómo alcanzar una precisión deseada? (b) ¿Qué diría si estuviese escribiendo acerca de la regla de Simpson? 15. ¿Cómo se comparan los méritos relativos de la regla de Simpson y de la regla del trapecio? 16. ¿Qué es una integral impropia del tipo I? ¿Del tipo II? ¿Cómo se definen los valores de los diferentes tipos de integrales impropias? Proporcione ejemplos. 17. ¿Qué criterios están disponibles para determinar la convergencia y divergencia de integrales impropias que no pueden evaluarse de manera directa? Proporcione ejemplos de su uso. 19. 20. L eu sec2 se ud du L eu sen se ud cos2 se ud du 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. dy L sy + 1d2y2 dx L sx - 1d2x + 2y 2 dt L t - 2x 2 dy L y + 4t + 5 2 dx L 24x - x - 4y + 8 2 dx L 24x - x - 3 2 6 dx L x24x2 4 dx L 5x225x - 9 2 dt L 1 + 25t - 16 2 dt L 9 + t 2 dt L 29 - 4t 2 dt L 216 - 9t 2 dx L 249 - x 2 2 dx L 21 - 4x 2 L sen-1 dx L sx x dx 2 21 - x 2 + 1ds2 + tan-1 L dy L ys2 + ln yd xd dy L y ln y 5x22 L dx 2x - 1 dx 41. 42. cos L 2 3x dx L sen2 x dx
43. 44. L sen3 u cos2 u sen3 du u du 85. 86. L 2 L tan-1 3x dx 45. 46. 47. 48. 2 dx L cos 2 x - sen 2 L dx L 2 sen x cos x x 6 sec4 L t dt tan3 2t dt p>2 49. 2csc 50. Lp>4 L 2 y - 1 dy p 51. 21 - cos 52. L0 L 2 2x dx p>2 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. cot x L cot x + csc x dx L tan x dx L tan x + sec x 2t 2 + 21 - t 2 t21 - t 2 y + 4 L y t + 2 dt L 2 24 - t dt 2 + 1 dy 2y - 1 L y 2 + 4 dy L 2x x - 4 dx L 4x2 + 3 2x - 1 dx x L 3 x L dx 2 9 + x 2 x 2 + 4 dx 21 - cos 2t dt L-p>2 Lp 21 + cos 2t dt 65. 66. L x csc sx2 sec s5 - 3xd dx + 3d dx L 67. cot ax b dx 68. tan s2x - 7d dx L 4 L 69. x21 - x dx 70. 3x22x + 1 dx L L 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. L 2z2 L - 16 z dz 2w2 12 dx L sx - 1 w dw 2 - 1d 3>2 dx L 2x 2 L - 9 24 - x2 x L dx 2 dx 21 - x 2 x L 3 dx 21 - x2 dx L x2 21 - x2 dy L 225 + 9y 2 dy L 225 + y 2 L s16 + z2d -3>2 L dz 2z2 + 1 dz Integración por partes 3p>4 p>4 2p 0 2p Evalúe las integrales en los ejercicios 83 a 90 por medio de integración por partes. 83. 84. x L 2 ln sx + 1d dx ln x dx L 2cot 2 t + 1 dt 2 x 1 - sen A 2 dx 87. 88. L x2 sen s1 - xd dx L sx + 1d2e x dx 89. 90. L e -2x sen 3x dx L ex cos 2x dx Fracciones parciales En los ejercicios 91 a 110, evalúe las integrales. Podría ser necesario utilizar primero una sustitución. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. ds L 2e s L + 1 ds e s dx L xA1 + 2 - 1 3 L dx L xA32x + 1B xB 2x3 + x2 - 21x + 24 x 2 L dx + 2x - 8 x3 + 4x2 x 2 + 4x + 3 dx L x3 + 1 x 3 - x dx L x3 + x 2 x 2 + x - 2 dx t dt L t 4 - t 2 dt L t - 2 4 + 4t 2 y + 3 L 2y s3y - 7d dy L sy - 1dsy - 2dsy - 3d + 3 3 - 8y dy 4x dx L x 3 L + 4x 3x2 + 4x + 4 x 3 cos u du L sen dx + x 2 sen u du L cos u + sen u - 6 2 x + 1 L x u + cos u - 2 2 sx - 1d dx dx L xsx + 1d 2 x dx L x2 x dx L x + 4x + 3 2 - 3x + 2 Sustituciones trigonométricas En los ejercicios 111 a 114, evalúe las integrales, (a) sin utilizar una sustitución trigonométrica, (b) por medio de una sustitución trigonométrica. 111. 112. 113. 114. t dt L 24t 2 x dx L 4 - x - 1 2 x dx L 24 + x2 y dy L 216 - y 2 Términos cuadráticos Capítulo 8 Ejercicios de práctica 635 L cos-1 a x b dx 2 En los ejercicios 115 a 118, evalúe las integrales. 115. 116. 117. dx 118. L 29 - x2 dx L 9 - x 2 dx L xs9 - x 2 x dx L 9 - x d 2
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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FIGURA 6.11, página 402 Determinac
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Agradecemos a todos los profesores
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1.1 Capítulo 1 PRELIMINARES INTROD
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Las expansiones decimales finitas r
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-5 5 3 -5 0 3 4 1 1 4 3 1 4 FI
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1 2 (a) 1 2 (b) FIGURA 1.4 Los conj
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1.2 Eje y positivo Eje x negativo E
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6 L2 4 3 2 1 0 1 y y P 1 (0, 5) P 1
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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(-1, 1) 1 (1, 1) -2 (-2, 4) -1 4 y
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Incrementos y movimiento 37. Una pa
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96. La distancia entre un punto y u
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x -2 4 -1 1 0 0 1 1 3 2 y x 2 9 4
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TABLA 1.2 Datos del diapasón Tiemp
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1 y 3 2 1 y 2 1 1 2 3 1 2 0 1 2 y
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-4 -2 4 2 -2 -4 y y 2x2 3 7x 4 2
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1 0 1 y 1 y log 3 x y log 2 x y
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ƒsxd = x + 1 Modelos matemáticos
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1.5 Combinación de funciones; tras
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1.5 Combinación de funciones; tras
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5 4 3 2 1 y dilatar comprimir y 3x
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EJERCICIOS 1.5 Sumas, restas, produ
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En los ejercicios 19-28 se establec
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2 Grados Radianes 45 45 90 1 30 1 2
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SE sen pos. TA tan pos. y TO todos
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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Biomasa 250 200 150 100 50 y 0 1 2
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T T T c. Superponga la gráfica de
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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2.1 Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUI
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Desde el punto de vista geométrico
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x 0 (a) Función identidad k 0 y y
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Es fácil convencernos de que las p
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L 1 10 L L 1 10 0 y y f(x) x 0 L
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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2 y y 4 x 2 0 2 FIGURA 2.23 lím
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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2 1 y 5 0 5 10 1 2 y 5x2 8x 3 3x
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2.5 B y Límites infinitos y asínt
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B 0 y x 0 y f(x) x 0 d x 0 d FIG
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Asíntota vertical x 2 4 3 2 y 8 7
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2.5 Límites infinitos y asíntotas
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Creación de gráficas a partir de
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2 y y 4 x 2 2 0 2 FIGURA 2.52 Una
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0 y y 1 x FIGURA 2.56 La función
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0.4 0.3 0.2 0.1 2p p p 0 y 2p FIGUR
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3 2 1 0 y 1 2 3 4 FIGURA 2.61 La fu
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5. a. ¿ existe? b. ¿ existe? c.
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O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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0 y h y f(x) Q(x 0 h, f(x 0 h))
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Razones de cambio: derivada en un p
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No habiendo tangente vertical en x
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4. Suponga que f(x) y g(x) están d
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h (b) r 6 cm Volumen del líquido
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3.1 ENSAYO HISTÓRICO La derivada C
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Muchas veces es necesario conocer l
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Pendiente 0 A A' 10 5 B 4 unidades
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0 y y ⏐x⏐ y' -1 y' 1 y' no es
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1 0 y y U(x) FIGURA 3.7 La funció
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. Grafique la derivada de f. La gr
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EXPLORACIONES CON COMPUTADORA Use u
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tenemos EJEMPLO 9 Dos métodos para
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3.3 La derivada como razón de camb
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Distancia (pies) 800 700 s 3.3 La d
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t (segundos) t 0 t 1 t 2 t 3 s
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La única falla en este razonamient
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sen n x significa ssen xd n , n Z -
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0 y t 1 (1, 1) Inicia en t 0 y x
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Encontrar d en términos de t 1. Ex
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Identifique la trayectoria de la pa
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112. (Continuación del ejercicio 1
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y y = 1 2 c-ƒsxd ; 2-3 a 3 x - C 3
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EJERCICIOS 3.6 Derivadas de potenci
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69. Normal que interseca ¿En qué
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Obser vador Globo d 0.14 rad/min d
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dy ? dt cuando y 6 pies dV dt 9
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y(t) y 0 14. Tránsito aéreo comer
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Automóvil Cámara 132' 33. Una cap
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Una aproximación lineal importante
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EJERCICIOS 3.8 Determinación de li
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Capítulo 3 Preguntas de repaso 1.
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66. a. Grafique la función b. ¿ f
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c. ¿Cómo se relaciona dS>dt con d
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. Encuentre los valores para b y c
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26. Regla de Leibniz para derivadas
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Daniel Bernou
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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-2 -1 (-2, -32) 7 -32 y (1, 7) y 8
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(c) Una solución intermedia 12 mil
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. Use el teorema de Rolle para prob
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Función decreciente y y x 2 Funci
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T Calculadora graficadora o computa
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Precaución Para aplicar la regla d
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a 0 y a a y x b a FIGURA 5.13 El
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Uso de las propiedades y los valore
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78. Sumas superior e inferior para
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1 1 2 0 y y f(x) 1 2 El valor prom
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Antes de probar el teorema 4, veamo
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De acuerdo con el teorema del valor
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25 4 -3 -2 -1 0 1 2 y y 6 x x 2
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EJERCICIOS 5.4 Evaluaciones integra
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a. ¿Cuál es la velocidad de la pa
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5.5 Las integrales indefinidas y la
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La regla de sustitución proporcion
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1 1 2 y y sen 2 x 0 2 2 FIGURA 5
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6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. L a. Usando
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Demostración Sea F cualquier antid
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a y Curva superior y f(x) b Curva
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Richard Dedek
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2 y y x (4, 2) 1 y x 2 2 Área
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36. 37. 38. (-3, 5) -3 (-3, -3) 39.
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88. Use una sustitución para proba
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13. ƒsxd = 5 - 5x 14. ƒsxd = 1 -
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86. Los paracaidistas A y B están
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Regla de Leibniz En las aplicacione
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Capítulo 5 Proyectos de aplicació
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0 y a S x k1 xk FIGURA 6.3 Una plac
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y 0 45° x -3 29 x 2 x 3 x ⎛ ⎝
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1 0 y 6.1 Cálculo de volúmenes po
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R(x) -x 3 R(x) -x 3 (-2, 5) r(x
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EJERCICIOS 6.1 Áreas de secciones
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15. Alrededor del eje y. 16. Alrede
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58. Tanque auxiliar de gasolina Con
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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12. y = 3> A22xB, y = 0, x = 1, x =
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0 y A P 0 P 1 P k-1 C B P n FIGUR
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-1 1 0 -1 y x cos 3 t y sen 3 t 0
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1 0 y ⎛x y ⎝2 2/3 , 0 x 2
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T EJERCICIOS 6.3 Longitudes de curv
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(a) 6.4 Momentos y centro de masa 4
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Densidad La densidad de la materia
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0 y x y c.m. x x Línea de equilib
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Cómo determinar el centro de masa
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y a 2 x 2 -a 0 a y (a) a c.m. -a
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punto que está a un tercio de la d
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0 y y f(x) a P Q x k1 x k FIGURA 6
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0 y A (0, 1) x y 1 B (1, 0) FIGUR
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1 8 0 - 1 8 y y x 3 NO ESTÁ A ESC
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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Fuerza (lb) F 0 Sin comprimir 4 F x
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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28. Golf Una pelota de golf de 1.6
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y a y Superficie del fluido Placa v
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EJERCICIOS 6.7 En los ejercicios si
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a. Determine la fuerza del fluido c
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27. Determine el centroide de una p
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0 12. En los puntos de la circunfer
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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El proceso de pasar de f a f -1 pue
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y y f(x) b f(a) (a, b) 0 a x 7.1
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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5. ¿Qué es la función logaritmo
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99. ¿Verdadero o falso? Justifique
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17. Utilice la figura siguiente par
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8.1 Capítulo 8 TÉCNICAS DE INTEGR
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Solución EJEMPLO 2 Completar el cu
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA George David
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Page 625 and 626: 2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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Page 643 and 644: Solución L2 q x + 3 sx - 1dsx 2 dx
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Page 647 and 648: 1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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Page 679 and 680: Después se calculan las aproximaci
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Page 683 and 684: Exploración gráfica de ecuaciones
Page 685 and 686: 2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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Page 695 and 696: M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
Page 723 and 724:
121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
Page 725 and 726:
La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
Page 729 and 730:
91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
Page 733 and 734:
7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
Page 735 and 736:
Ejercicios prácticos, páginas 388
Page 737 and 738:
Ejercicios de práctica, páginas 4
Page 739 and 740:
13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
Page 741 and 742:
Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
Page 743 and 744:
Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
Page 745 and 746:
71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
Page 747 and 748:
3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
Page 749:
Ejercicios prácticos, páginas 682
Page 752 and 753:
I-2 Índice Calculadoras, graficaci
Page 754 and 755:
I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
Page 756 and 757:
I-6 Índice implícitamente, 205-20
Page 758 and 759:
I-8 Índice Leyes de los exponentes
Page 760 and 761:
I-10 Índice Problema de primer ord
Page 762 and 763:
I-12 Índice en integrales múltipl
Page 765:
Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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