Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Muchas veces es necesario conocer la
derivada de 1x
para x 7 0:
1
y
d
1x =
dx
0 4
1
21x .
(4, 2)
y
1
x 1
4
y x
FIGURA 3.2 La curva y = 1x y
su tangente en (4, 2). La pendiente de la
tangente se encuentra evaluando la
derivada en x = 4 (ejemplo 2).
x
y
EJEMPLO 2 Derivada de la función raíz cuadrada
(a) Encontrar la derivada de y = 1x para x 7 0.
(b) Encontrar la recta tangente a la curva y = 1x en x = 4.
Solución
ƒsx + hd - ƒsxd
ƒ ¿sxd = lím
h:0 h
(a) Usamos la forma equivalente para calcular ƒ¿ :
ƒszd - ƒsxd
ƒ ¿sxd = lím
z:x z - x
1z - 1x
= lím
z:x z - x
= lím
z:x
= lím
z:x
= lím
h:0 1
h # -h
sx + h - 1dsx - 1d
= lím
h:0
1z - 1x
A 1z - 1xBA1z + 1xB
1
1z + 1x =
(b) La pendiente de la curva en x = 4 es
=
ƒsx + hd =
x + h
x + h - 1 -
= lím
h:0 1 # sx + hdsx - 1d - xsx + h - 1d
h sx + h - 1dsx - 1d
-1
sx + h - 1dsx - 1d =
1
21x .
ƒ¿s4d =
sx + hd
, así que
sx + hd - 1
La tangente es la recta que pasa por el punto (4, 2) y tiene pendiente 1N4 (figura 3.2):
y = 2 + 1
sx - 4d
4
y = 1
x + 1.
4
En el ejemplo 6 se considera la derivada de y = 1x cuando x = 0 en el ejemplo 6.
h
1
224
3.1 La derivada como una función 149
x
x - 1
= 1
4 .
-1
. 2
sx - 1d
a c ad - cb
- =
b d bd