Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

560 Capítulo 8: Técnicas de integración
67. 21 - cos 68.
L-p
L
2 u du
69. 21 + tan 70.
L-p>4
L
2 y dy
Miscelánea de integrales
Evalúe cada integral en los ejercicios 71 a 82, usando la técnica que
considere apropiada.
71. scsc x - cot xd 72.
Lp>4
L0
2 dx
73. cos u csc ssen ud du 74.
L
75.
76.
scsc x - sec xdssen x + cos xd dx
L
L
p
65. 21 + cos 2t dt 66. 21 + cos t dt
Lp>2
L-p
0
p>4
3p>4
3 senh ax + ln 5b dx
2
dx
77. 78.
L x24x 2 6 dy
L 1ys1 + yd
- 1
dx
79. 80.
L s2x + 1d24x 2 7 dx
L sx - 1d2x + 4x
2 - 2x - 48
dx
81. 82.
L x23 + x 2
L sec2 t tan stan td dt
Potencias trigonométricas
83. a. Evalúe (Sugerencia: cos ).
2 u = 1 - sen 2 1 u
cos3 u du.
b. Evalúe 1 cos5 u du.
c. Sin evaluar realmente la integral, explique cómo evaluaría
1 cos9 u du.
84. a. Evalúe (Sugerencia: sen ).
2 u = 1 - cos 2 1 u
sen3 u du.
b. Evalúe 1 sen5 u du.
c. Evalúe 1 sen7 u du.
d. Sin evaluar realmente la integral, explique cómo evaluaría
1 sen13 u du.
85. a. Exprese en términos de Después
evalúe (Sugerencia: tan ).
2 u = sec 2 1 u - 1
tan3 1 1 tan u du.
u du.
tan3 u du
b. Exprese en términos de 1 tan3 1 u du.
tan5 u du
c. Exprese en términos de 1 tan5 1 u du.
tan7 u du
d. Exprese donde k es un entero positivo, en tér-
minos de
1 tan2k + 1 u du,
1 tan2k - 1 u du.
L a1 + 1 x b cot sx + ln xd dx
86. a. Exprese 1 en términos de 1 cot u du. Luego evalúe
cot3 u du
p>4
ssec x + 4 cos xd 2 dx
(Sugerencia: cot ).
2 u = csc2 1 u - 1
cot3 u du.
0
p
p>2
0
-p>4
21 - sen 2 u du
2sec 2 y - 1 dy
b. Exprese en términos de
c. Exprese en términos de
d. Exprese 1 en donde k es un entero positivo, en
términos de
cot2k + 1 1
u du,
cot5 1 u du.
cot7 1
u du
cot3 1 u du.
cot5 u du
Teoría y ejemplos
87. Área Determine el área de la región acotada por arriba por
y = 2 cos x, y por abajo por y = sec x, -p>4 … x … p>4.
88. Área Determine el área de la región “triangular” que está acotada
por arriba y por abajo por las curvas y = csc x y y = sen x,
p>6 … x … p>2, y a la izquierda por la recta x = p>6.
89. Volumen Determine el volumen del sólido generado al hacer
girar, alrededor del eje x, la región del ejercicio 87.
90. Volumen Determine el volumen del sólido generado al hacer
girar, alrededor del eje x, la región del ejercicio 88.
91. Longitud de arco Determine la longitud de la curva y = ln
(cos x), 0 … x … p>3.
92. Longitud de arco Determine la longitud de la curva y = ln
(sec x), 0 … x … p>4.
93. Centroide Determine el centroide de la región acotada por el
eje x, la curva y = sec x y las rectas x = -p>4, x = p>4.
94. Centroide Determine el centroide de la región acotada por el
eje x, la curva y = csc x y las rectas x = p>6, x = 5p>6.
95. La integral de csc x Repita, por medio de cofunciones, la deducción
del ejemplo 7 para demostrar que
96. Uso de sustituciones diferentes Demuestre que la integral
puede evaluarse con cualquiera de las sustituciones siguientes.
a.
b.
c.
u = 1>sx + 1d
u = ssx - 1d>sx + 1dd
y -1
k para k = 1, 1>2, 1>3, -1>3, -2>3,
u = tan -1 x
1 cot2k - 1 u du.
csc x dx = -ln ƒ csc x + cot x ƒ + C.
L
L ssx2 - 1dsx + 1dd -2>3 dx
d. e. u = tan-1 u = tan ssx - 1d>2d
-11x f. g. u = cosh-1 u = cos x
-1 x
¿Cuál es el valor de la integral? (Fuente: “Problems and Solutions”,
College Mathematics Journal, volumen 21, número 5, noviembre
de 1990, páginas 425-426).