Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

682 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
Capítulo 9 Preguntas de repaso
1. ¿Qué es una ecuación diferencial de primer orden? ¿Cuándo una
función es una solución de tal ecuación?
2. ¿Cómo se resuelven las ecuaciones diferenciales de primer orden
con variables separables?
3. ¿Cuál es la ley de cambio exponencial? ¿Cómo puede deducirse a
partir de un problema de valor inicial? ¿Cuáles son algunas de las
aplicaciones de la ley?
4. ¿Qué es el campo de pendientes de una ecuación diferencial
y¿ =ƒsx, yd? ¿Qué se puede aprender de tales campos?
5. ¿Cómo se resuelven las ecuaciones diferenciales de primer orden?
6. Describa el método de Euler para resolver numéricamente el pro-
blema de valor inicial y¿ =ƒsx, yd, ysx0d = y0.
Proporcione un
ejemplo. Comente la precisión del método. ¿Por qué podría necesitar
resolver de manera numérica un problema de valor inicial?
Capítulo 9 Ejercicios de práctica
En los ejercicios 1 a 20 resuelva la ecuación diferencial.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17.
18.
19. (Sugerencia:
20. x dy + s3y - x -2 sx + 3y d sxyd = y dx + x dy)
cos xd dx = 0, x 7 0
2 e
d dy + y dx = 0
-x dy + se -x s1 + e
y - 4xd dx = 0
x d dy + sye x + e -x xy¿ +2y = 1 - x xy¿ -y = 2x ln x
d dx = 0
-1
y¿
2 + y = e -x 2y¿ -y = xe sen x
x>2
y¿ =sy 2 - 1dx -1
y¿ =xe
xsx - 1d dy - y dx = 0
x - y y¿ = csc y
ey
2x
xy
2 sec x dy + x cos dx - 32y csc x dy = 0
2 y¿ =xye
y dx = 0
x2
y¿ =xey y cos
2x - 2
2 yy¿ =sec y x dy + sen x dx = 0
2 sec 2 dy
dx
3ysx + 1d2
y¿ =
y - 1
x
= 2y cos2 2y
Problemas de valor inicial
En los ejercicios 21 a 30 resuelva el problema de valor inicial.
dy
21.
dx = e -x - y - 2 , ys0d = -2
22.
dy
dx
y ln y
= , ys0d = e2
2 1 + x
23. sx + 1d dy
+ 2y = x, x 7 -1, ys0d = 1
dx
7. Describa el método de Euler mejorado para resolver numéricamente
el problema de valor inicial y¿ =ƒsx, yd, ysx0d = y0 ¿Cómo
se compara con el método de Euler?
8. ¿Qué es una ecuación diferencial autónoma? ¿Qué son los valores
de equilibrio? ¿En qué difieren de los puntos críticos? ¿Qué es un
valor de equilibrio estable? ¿Qué es un valor de equilibrio inestable?
9. ¿Cómo se construye la línea de fase para una ecuación diferencial
autónoma? ¿De qué manera nos ayuda la línea de fase para producir
una gráfica que muestre cualitativamente una solución de la
ecuación diferencial?
10. ¿Por qué el modelo exponencial no es realista para predecir crecimiento
poblacional a largo plazo? ¿Cómo corrige el modelo logístico
la deficiencia del modelo exponencial para el crecimiento
poblacional? ¿Qué es la ecuación diferencial logística? ¿Cuál es la
forma de su solución? Describa la gráfica de la solución logística.
24.
25.
dy
dx + 3x2y = x 2 x
, ys0d = -1
dy
dx + 2y = x2 + 1, x 7 0, ys1d = 1
26.
27.
28.
29. xy¿ +sx - 2dy = 3x
30. y dx + s3x - xy + 2d dy = 0, ys2d = -1, y 6 0
3e -x -2 dx
y
dy
, ys1d = 0
=
e x
e 2x x dy + sy - cos xd dx = 0, y a
x dy - Ay + 2yB dx = 0, ys1d = 1
, ys0d = 1
+ 1 p
b = 0
2
Método de Euler
En los ejercicios 31 y 32, utilice el método que se indica para resolver
el problema de valor inicial, en el intervalo dado, iniciando en x0 con
dx = 0.1.
T 31. Euler: y¿ =y + cos x, ys0d = 0; 0 … x … 2; x0 = 0
T 32. Euler mejorado: y¿ =s2 - yds2x + 3d, ys -3d = 1;
-3 … x … -1; x0 = -3
En los ejercicios 33 y 34, utilice el método que se indica con
dx = 0.05 para estimar y(c), donde y es la solución al problema de valor
inicial.
T
33. Euler mejorado:
c = 3; dy
dx
x - 2y
= , ys0d = 1
x + 1