Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

0
y y f(x)
a
P Q
x k1 x k
FIGURA 6.44 Superficie generada al hacer
girar, alrededor del eje x, la gráfica de la
función no negativa y = ƒsxd, a … x … b,
La superficie es una unión de bandas,
como la que barre el arco PQ.
P
x k1
x k
FIGURA 6.45 El segmento de recta que
une P y Q barre un tronco de cono.
Q
x
b
x
0
y
6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 437
y 1
Conforme el arco PQ gira alrededor del eje x, el segmento que une P con Q barre
el tronco de un cono cuyo eje está en el eje x (figura 6.45). El área de la superficie de
este tronco aproxima el área de la superficie de la banda barrida por el arco PQ. El área
de la superficie del tronco que se muestra en la figura 6.45 es donde es la
altura promedio del segmento que une P con Q y L es su longitud (igual que antes).
Como de acuerdo con la figura 6.46 vemos que la altura promedio del segmento
de recta es y la longitud del segmento inclinado es
L = 2s¢xkd Por lo tanto,
2 + s¢ykd 2 y
.
* y
ƒ Ú 0,
= sƒsxk - 1d + ƒsxkdd>2,
*
2py * L,
Área de la superficie del tronco = 2p # ƒsxk - 1d + ƒsxkd
2
Como el área de la superficie original es la suma de las áreas de las bandas barridas
por arcos como el PQ, ésta se aproxima por medio de la suma de las áreas de los troncos
n
A
a psƒsxk - 1d + ƒsxkdd2s¢xkd 2 + s¢ykd 2 .
k = 1
(a)
∆s
y*
B
y 2
= psƒsxk - 1d + ƒsxkdd2s¢xkd 2 + s¢ykd 2 .
Esperamos que la aproximación mejorará conforme la partición de [a, b] sea más fina.
Además, si la función f es diferenciable entonces, por el Teorema del Valor Medio, existe
un punto sck, ƒsckdd en la curva entre P y Q donde la tangente es paralela al segmento PQ
(figura 6.47). En este punto,
ƒ ¿sckd = ¢yk
¢xk
¢yk = ƒ¿sckd ¢xk.
,
x
∆s
NO ESTÁ A ESCALA
(b)
2y*
FIGURA 6.43 (a) El tronco de un cono generado por la rotación
alrededor del eje x del segmento de recta inclinado AB, de longitud
, tiene área 2py (b) El área del rectángulo para
*¢s.
¢s
y la altura promedio de AB sobre el eje x.
* = y1 + y2
,
2
# 2s¢xkd 2 + s¢ykd 2
(1)