Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

472 Capítulo 7: Funciones trascendentes
y
4 Pendiente 4 (2, 4)
3
2
1
0
1
y x 2 , x 0
Pendiente
2 3 4
1
–
4
(4, 2)
y x
FIGURA 7.7 La derivada de
en el punto (4, 2) es el
recíproco de la derivada f(x) = x 2 ƒ
en (2, 4)
(ejemplo 4).
-1 sxd = 1x
y
–2 0
6
–2
6 (2, 6)
y x 3 2
Pendiente 3x 2 3(2) 2
Pendiente recíproca:
1
12
(6, 2)
FIGURA 7.8 La derivada de
en x = 2, nos da la derivada
de ƒ en x = 6 (ejemplo 5).
-1
ƒsxd = x 3 - 2
x
x
El teorema 1 predice que la derivada de ƒ es -1sxd El teorema 1 proporciona una derivada que concuerda con los resultados que se obtienen
al utilizar la regla para la derivada de una potencia aplicada a la función raíz cuadrada.
Examinemos el teorema 1 en un punto específico. Tomamos x = 2 (el número a) y
f (2) = 4 (el valor b). El teorema 1 dice que la derivada de f en 2, y la derivada
de en ƒ(2), sƒ son recíprocos. Esto establece que
-1 ƒ d¿s4d,
-1
ƒ¿s2d = 4,
Vea la figura 7.7.
En ocasiones, la ecuación (1) nos permite determinar valores específicos de sin
conocer la fórmula para ƒ -1 dƒ
.
-1 >dx
EJEMPLO 5 Determinación de un valor para la derivada de la función inversa
Sea Hallar el valor de en sin determinar la fórmula
de ƒ -1 dƒ x = 6 = ƒs2d
sxd.
-1 ƒsxd = x >dx
3 - 2.
Solución
Vea la figura 7.8.
sƒ -1 d¿s4d =
-1 dƒ
dx ` x = ƒs2d
dƒ
dx ` x = 2
sƒ -1 d¿sxd =
1
ƒ¿sƒ -1 s4dd =
= 3x 2 ` x = 2
=
=
=
1
dƒ
dx ` x = 2
1
2s 1xd .
1
2sƒ -1 1
ƒ¿sƒ
sxdd
-1sxdd 1
ƒ¿s2d
= 12
= 1
12
= 1
2x ` x = 2
= 1
4 .
Ecuación (1)
Parametrización de funciones inversas
Podemos graficar o representar cualquier función y = f (x) de forma paramétrica como
Intercambiando t y f (t) se obtienen las ecuaciones paramétricas para la inversa:
(vea la sección 3.5).
Por ejemplo, para graficar la función inyectiva junto con su inversa
y la recta en una calculadora graficadora, utilice la opción de graficación
paramétrica con
Gráfica de ƒ : x1 = t, y1 = t2 , t Ú 0
Gráfica de ƒ -1 : x2 = t2 ƒsxd = x
y = x, x Ú 0,
, y2 = t
Gráfica de y = x : x3 = t, y3 = t
2 x = t y y = ƒstd.
x = ƒstd y y = t
, x Ú 0,