Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y¿ =sx - 1d 2 sx - 2d.
¿En qué puntos, si hay alguno, tiene la gráfica de f un mínimo local,
un máximo local o un punto de inflexión? (Sugerencia: Trace
el patrón de signos de y¿ . )
76. Suponga que la derivada de la función y = ƒsxd es
y¿ =sx - 1d 2 sx - 2dsx - 4d.
¿En qué puntos la gráfica de f tiene un mínimo local, un máximo
local o un punto de inflexión?
77. Para x 7 0 dibuje una curva y = ƒsxd que tenga ƒs1d = 0 y
ƒ¿sxd = 1>x. ¿Puede decirse algo acerca de la concavidad de tal
curva? Justifique su respuesta.
78. ¿Puede decirse algo acerca de la gráfica de una función
que tiene segunda derivada continua que nunca es cero? Justifique
su respuesta.
79. Si b, c y d son constantes, ¿para qué valor de b tendrá un punto de
inflexión en la curva ? Justifique
su respuesta.
80. Tangentes horizontales ¿Verdadero o falso? Explique.
a. La gráfica de un polinomio de grado par (el mayor exponente
par) tiene al menos una tangente horizontal.
b. La gráfica de un polinomio de grado impar (el mayor exponente
impar) tiene al menos una tangente horizontal.
81. Parábolas
a. Encuentre las coordenadas del vértice de la parábola
b. ¿En qué punto la parábola es cóncava hacia arriba? ¿En cuál
es cóncava hacia abajo? Justifique sus respuestas.
82. ¿Es cierto que la concavidad de la gráfica de una función dos veces
diferenciable cambia cada vez que Justifique
su respuesta.
83. Curvas cuadráticas ¿Qué puede decir acerca de los puntos de
inflexión de la curva Justifique su
respuesta.
84. Curvas cúbicas ¿Qué puede decir acerca de los puntos de inflexión
de la curva y = ax Justifique
su respuesta.
3 + bx2 y = ax
+ cx + d, a Z 0?
2 y = ax
y = ƒsxd
ƒ–sxd = 0?
+ bx + c, a Z 0?
2 y = x
+ bx + c, a Z 0.
3 + bx2 y = ƒsxd
x = 1
+ cx + d
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
En los ejercicios 85-88, encuentre los puntos de inflexión (si los hay)
en la gráfica de la función, y las coordenadas de los puntos en la gráfica
donde la función tiene un valor máximo o mínimo local. Después
grafique la función en una región suficientemente grande para mostrar
simultáneamente todos estos puntos. Añada a su figura las gráficas
de las funciones de la primera y segunda derivadas. ¿Cómo se relacionan
los puntos en los que estas gráficas cortan el eje x con la
gráfica de la función? ¿De qué otra manera se relacionan las gráficas
de las derivadas con la gráfica de la función?
87.
y = 4
5 x5 + 16x 2 - 25
4.4 Concavidad y trazado de curva 277
75. Suponga que la derivada de la función y = ƒsxd es
85. 86. y = x3 - 12x 2
y = x 5 - 5x 4 - 240
88.
89. Grafique juntas la función y sus dos primeras
derivadas. Comente el comportamiento de juntas f en relación
con los signos y valores de y
90. Grafique juntas y su segunda derivada para
Comente el comportamiento de f en relación con los signos
y valores de
91. a. En una pantalla común, grafique para
y para valores de k positivos y negativos cercanos a cero. ¿Cómo
parecen afectar los valores de k la forma de la gráfica ?
b. Encuentre Como verá, es una función cuadrática
de x. Determine el discriminante de la cuadrática (el discriminante
de es ) ¿Para qué valores de k
el discriminante es positivo? ¿Para qué valores es cero? ¿Para
qué valores es negativo? ¿Para qué valores de k, tiene dos
ceros? ¿Para qué valores tiene un cero o ninguno? Ahora explique
qué tiene que ver el valor de k con la forma de la gráfica
de f.
c. Experimente con otros valores de k. ¿Qué ocurre cuando
¿Qué ocurre cuando
92. a. En una pantalla común, trace la gráfica de
para y para valores enteros
cercanos a k. ¿Cómo parecen afectar los valores de k a la forma
de la gráfica?
b. Encuentre Como verá, es una función cuadrática
de x. ¿Cuál es el discriminante de la cuadrática (vea el ejercicio
91(b))? ¿Para qué valores de k el discriminante es positivo?
¿Para qué valores de k es cero? ¿Para qué valores de k es
negativo? ¿Para qué valores de k , tiene dos ceros? ¿Para
qué valores de k tiene un cero o ninguno? Ahora explique qué
tiene que ver el valor de k con la forma de la gráfica de f.
93. a. Grafique para Después use
cálculo para confirmar lo que muestra la pantalla acerca de la
concavidad, el crecimiento y el decrecimiento. (Dependiendo
de su calculadora graficadora, es posible que tenga que introducir
como para obtener el trazo de los valores negativos
de x.)
b. ¿La curva tiene una cúspide en o solamente un pico
con derivadas laterales derecha e izquierda diferentes?
94. a. Grafique para Después
use cálculo para confirmar lo que muestra la pantalla acerca
de la concavidad, el crecimiento y el decrecimiento. ¿Qué concavidad
tiene la curva a la izquierda del origen? (Dependiendo
de su calculadora graficadora, es posible que tenga que introducir
como para obtener el trazo de los valores negativos
de x.)
b. ¿La curva tiene una cúspide en o solamente un pico
con derivadas laterales derecha e izquierda diferentes?
95. ¿La curva y = x tiene una tangente horizontal cerca
de x = -3? Justifique su respuesta.
2 sx
x = 0,
+ 3 sen 2x
2d1>3 x2>3 y = 9x -0.5 … x … 1.5.
2>3 sx
x = 0,
sx - 1d
2d1>3 x2>3 y = x -3 … x … 3.
2>3sx 2 + 6x -2 … x … 2 k = -4,
ƒ–sxd.
ƒ–sxd
ƒ–
- 2d
2 ƒsxd = x
,
4 + kx 3
b
ƒ¿
k : - q ?
k : q ?
2 ax - 4ac
2 ƒsxd = x k = 0
ƒ¿sxd.
ƒ¿sxd
+ bx + c
3 ƒsxd = 2x
ƒ¿ ƒ– .
ƒsxd = x cos x
0 … x
… 2p.
ƒ– .
+ kx
4 - 4x 2 y =
+ 1
x4 x3
-
4 3 - 4x2 + 12x + 20