Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

162 Capítulo 3: Derivadas
EJEMPLO 4 Derivada de una suma
Demostración de la regla 4 Aplicamos la definición de derivada a
usxd + ysxd:
Al combinar las reglas de la suma y del múltiplo constante, obtenemos la regla de la diferencia,
según la cual la derivada de una diferencia de funciones diferenciables es la diferencia
de sus derivadas.
La regla de la suma se extiende a sumas de más de dos funciones, siempre y cuando la
suma conste solamente de un número finito de funciones. Si son diferenciables
en x, entonces también lo es u1 + u2 + y Á u1, u2, Á , un
+ un
EJEMPLO 5 Derivada de una función polinomial
dy
dx
dy
dx
y = x 4 + 12x
usx + hd - usxd
= lím c
h:0 h
usx + hd - usxd
= lím
h:0 h
d
d
du
su - yd = [u + s -1dy] =
dx dx dx
d
dx su1 + u2 + Á + und = du1
dx
y = x 3 + 4
3 x2 - 5x + 1
d
=
dx x3 + d
dx a4
3 x2 b - d d
s5xd +
dx dx s1d
= 3x 2 + 4
3 # 2x - 5 + 0
= 3x2 + 8
x - 5
3
= d
dx sx4 d + d
dx s12xd
= 4x 3 + 12
d
[usx + hd + ysx + hd] - [usxd + ysxd]
[usxd + ysxd] = lím
dx h:0 h
Observe que podemos derivar cualquier polinomio término a término, tal como lo hicimos
con el polinomio del ejemplo 5. Todas las funciones polinomiales son diferenciables
en todos los puntos.
Demostración de la regla de la suma para sumas de más de dos funciones Probamos
la afirmación
d
dx su1 + u2 + Á + und = du1
dx
ysx + hd - ysxd
+ lím
h:0 h
+ s -1d dy
dx
= du
dx
= du
dx
+ du2
dx + Á + dun
dx .
du2
+
dx + Á + dun
dx
- dy
dx
+ dy
dx .
mediante inducción matemática (vea el Apéndice 1). La afirmación es cierta para n = 2, tal
como se acaba de probar. Éste es el paso 1 de la prueba por inducción.
+ ysx + hd - ysxd
d
h
ƒsxd =