Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Identifique la trayectoria de la partícula, encontrando una ecuación
cartesiana para ella. Grafique la ecuación cartesiana. (Las gráficas variarán
según la ecuación que se utilice). Indique la parte de la gráfica
trazada por la partícula y la dirección del movimiento.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77. x = sec
78. x = -sec t, y = tan t, -p>2 6 t 6 p>2
2 x = t, y = 21 - t
x = 2t + 1, y = 1t, t Ú 0
t - 1, y = tan t, -p>2 6 t 6 p>2
2 x = 3t, y = 9t
x = -1t, y = t, t Ú 0
x = 2t - 5, y = 4t - 7, - q 6 t 6 q
x = 3 - 3t, y = 2t, 0 … t … 1
, -1 … t … 0
2 x = cos 2t, y = sen 2t, 0 … t … p
x = cossp - td, y = sensp - td, 0 … t … p
x = 4 cos t, y = 2 sen t, 0 … t … 2p
x = 4 sen t, y = 5 cos t, 0 … t … 2p
, - q 6 t 6 q
Determinación de ecuaciones paramétricas
79. Encuentre las ecuaciones paramétricas y un intervalo del parámetro
para el movimiento de una partícula que empieza en (a, 0) y
traza el círculo
a. una vez en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj.
b. una vez en sentido contrario a las manecillas del reloj.
c. dos veces en el sentido de las manecillas del reloj.
d. dos veces en sentido contrario a las manecillas del reloj.
(Hay muchas maneras de hacerlo, así que sus respuestas podrían
diferir de las que se dan al final del libro).
80. Determine las ecuaciones paramétricas y un intervalo del parámetro
para el movimiento de una partícula que empieza en (a, 0) y
traza la elipse
a. una vez en el sentido de las manecillas del reloj.
b. una vez en sentido contrario a las manecillas del reloj.
c. dos veces en el sentido de las manecillas del reloj.
d. dos veces en sentido contrario a las manecillas del reloj.
(Como en el ejercicio 79, hay muchas respuestas correctas).
En los ejercicios 81 a 86, encuentre una parametrización para la curva
indicada.
81. el segmento de recta con extremos (–1, –3) y (4, 1).
82. el segmento de recta con extremos (–1, –3) y (3, –2).
83. la mitad inferior de la parábola x – 1 = y 2
84. la mitad izquierda de la parábola y = x 2 sx
+ 2x
85. el rayo (media recta) con punto inicial (2, 3), que pasa por el punto
(–1, –1)
86. el rayo (media recta) con punto inicial (–1, 2), que pasa por el
punto (0, 0)
2 >a 2d + sy 2 >b 2 x
d = 1
2 + y 2 = a 2
Tangentes a curvas parametrizadas
En los ejercicios 87 a 94, encuentre una ecuación para la recta tangente
a la curva en el punto definido por el valor de t dado. También determine
el valor de d 2 yNdx 2 en ese punto.
3.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas 203
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94. x = sec 2 x = 2t
x = t - sen t, y = 1 - cos t, t = p>3
x = cos t, y = 1 + sen t, t = p>2
t - 1, y = tan t, t = -p>4
2 + 3, y = t 4 x = 2 cos t, y = 2 sen t, t = p>4
x = cos t, y = 23 cos t, t = 2p>3
x = t, y = 1t, t = 1>4
x = -2t + 1, y = 23t, t = 3
, t = -1
Teoría, ejemplos y aplicaciones
95. Funcionamiento demasiado rápido de maquinaria Suponga
que un pistón describe un movimiento recto hacia arriba y hacia
abajo, y que su posición en el tiempo t segundos es
s = A coss2pbtd,
con A y b positivos. El valor de A es la amplitud del movimiento,
y el de b es la frecuencia (el número de veces que el pistón se
mueve hacia arriba y hacia abajo en cada segundo). ¿Qué efecto
tendrá duplicar la frecuencia en la velocidad, aceleración y sacudida
del pistón? (Una vez que lo descubra sabrá por qué la maquinaria
se descompone cuando funciona demasiado rápido).
96. Temperaturas en Fairbanks, Alaska La gráfica de la figura
3.33 muestra la temperatura promedio, en grados Fahrenheit, en
Fairbanks, Alaska, durante un año típico de 365 días. La ecuación
que aproxima la temperatura el día x es
y = 37 sen c 2p
sx - 101d d + 25.
365
a. ¿En qué día la temperatura se incrementa más rápido?
b. ¿Alrededor de cuántos grados por día aumenta la temperatura
cuando el incremento se da más rápido?
Temperatura (˚F)
60
40
20
0
–20
y
....... . ..
.
..... .
.
.. .. .
. .....
Ene
Feb
..... ........ .. ... ..... ....... .... . ..
...
..
..
... ..
.....
......
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Oct
Nov
Dic
........ ....
.. ......
Ene
Feb
FIGURA 3.33 Temperatura media normal del aire en
Fairbanks, Alaska, trazada como puntos de datos, y la
función de aproximación seno (ejercicio 96).
97. Movimiento de una partícula La posición de una partícula que
se mueve a lo largo de una recta coordenada es s = 21 + 4t,
con s en metros y t en segundos. Determine la velocidad y la aceleración
de la partícula en t = 6 seg.
98. Aceleración constante Suponga que la velocidad de un cuerpo
en caída es y = k1s m>seg (k es una constante) en el instante
que el cuerpo ha caído s m desde el punto de inicio. Muestre que
la aceleración del cuerpo es constante.
....
Mar
x