Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

80 Capítulo 2: Límites y continuidad
EJEMPLO 9 Una función podría carecer de límite en un punto de su dominio
Analicemos el comportamiento de las funciones siguientes cuando x : 0.
(a)
0,
Usxd = e
1,
x 6 0
x Ú 0
1
x , x Z 0
(b)
(c)
gsxd = L
0, x = 0
0, x … 0
ƒsxd = •
sen 1 x , x 7 0
Solución
(a) La función presentada en (a) tiene un salto: La función escalón unitario U(x) no tiene
límite a medida que x : 0 ya que sus valores saltan en x = 0. Para valores negativos
de x arbitrariamente cercanos a cero, Usxd = 0. Para valores positivos de x arbitrariamente
cercanos a cero, Usxd = 1. No hay un único valor de L al que U(x) se acerque
cuando U(x) como x : 0 (figura 2.7a).
(b) La función presentada en (b) crece demasiado: g(x) no tiene límite a medida que x : 0
ya que los valores de g aumentan arbitrariamente en valor absoluto cuando x : 0 y no
permanecen cerca de ningún número real (figura 2.7b).
(c) La función presentada en (c) oscila demasiado: f(x) no tiene límite a medida que
x : 0 ya que sus valores oscilan entre +1 y –1 en todo intervalo abierto que contenga a
0. Los valores no permanecen cerca de ningún número cuando x : 0 (figura 2.7c).
Uso de calculadoras y computadoras para estimar límites
Las tablas 2.1 y 2.2 ilustran el uso de calculadoras o computadoras para calcular numéricamente
un límite a medida que x se acerca cada vez más a x 0. Este procedimiento también
podría ser útil para determinar los límites de funciones como los que se presentaron en el
ejemplo 7 (llamadas funciones continuas; analizaremos este tipo de funciones en la sección
2.6). Sin embargo, las calculadoras y computadoras pueden dar valores falsos y provocar
impresiones engañosas para funciones que no están definidas en un punto, o en los
casos en los que no existe límite. El cálculo diferencial nos ayudará a determinar los valores
reales cuando una calculadora o computadora provea información extraña o ambigua
en relación con el comportamiento de una función cerca de algún punto (vea las secciones
4.4 y 4.6). Por el momento, lo único que hace falta es tener presente la posibilidad de que
el uso de calculadoras o computadoras para aproximar el valor de un límite dé resultados
erróneos. He aquí un ejemplo.
EJEMPLO 10 Adivinando un límite
Calcular el valor de lím
x:0 2x2 + 100 - 10
.
x 2
Solución En la tabla 2.3 se listan los valores de la función para varios valores cercanos a
x = 0. Cuando x se aproxima a 0 pasando por los valores ;1, ;0.5, ;0.10 y ;0.01,
parece
que la función se aproxima al número 0.05.
Al tomar valores aún más pequeños de x, ;0.0005, ;0.0001, ;0.00001 y ;0.000001,
parece que la función se aproxima al número 0.
Entonces, ¿cuál es la respuesta? ¿Es 0.05, 0 o algún otro valor? Los valores obtenidos
mediante calculadora o computadora son ambiguos, pero los teoremas de límites que se
presentan en la siguiente sección nos confirmarán que el valor correcto del límite es