Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

410 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
y
da y derecha de la parábola en términos de y. (Estos valores de x son los radios exterior e
interior de una arandela representativa, lo cual da lugar a fórmulas complicadas). En lugar
de hacer rotar una tira horizontal de grosor ∆y, hacemos girar una tira vertical de grosor
∆x. Esta rotación produce un casquillo cilíndrico de altura yk por arriba de un punto xk en
yk la base de la tira vertical y de grosor ∆x. La parte sombreada en el centro de la figura 6.18
0 xk 3
x ilustra el casquillo cilíndrico. Podemos considerar dicho casquillo cilíndrico como una
aproximación a una parte del sólido, la cual se obtiene haciendo un corte recto y paralelo
al eje de rotación, muy cerca del agujero central. Luego cortamos otra parte cilíndrica, ha-
x –1
ciendo mayor el agujero central, luego otra y así sucesivamente, hasta obtener n cilindros.
Los radios de los cilindros crecen de forma gradual, y sus alturas siguen el contorno de la
FIGURA 6.18 Un casquillo cilíndrico de parábola: primero son crecientes y luego decrecientes (figura 6.17a).
altura yk, obtenido al hacer girar una franja
vertical de grosor alrededor de la recta
Cada parte está sobre un subintervalo del eje x de longitud (ancho) ∆x. Su radio es
2
aproximadamente (1 + xk), y su altura es más o menos 3xk – xk . Si desenrollamos el cilin-
x = –1. El radio exterior del cilindro está
en xk, donde la altura de la parábola es
yk = 3xk - xk (ejemplo 1).
dro en xk y lo extendemos, se convierte en (casi) una placa rectangular con grosor ∆x (figura
6.19). La circunferencia externa del k–ésimo cilindro es 2p # radio = 2ps1 + xkd,
que es la longitud de la placa rectangular. Por lo tanto, el volumen del casquillo cilíndrico
es aproximadamente el de este sólido rectangular, es decir,
2
¢x
(3x k x k 2 )
¢Vk = circunferencia * altura * grosor
∆x
h (3x k x k 2 )
= 2ps1 + xkd # A3xk - xk 2 B # ¢x.
Circunferencia externa 2 ⋅ radio 2(1 xk) Radio 1 xk l 2(1 x k )
∆ x grosor
FIGURA 6.19 Imagine que corta y desenrolla un casquillo
cilíndrico para obtener un sólido plano (casi) rectangular
(ejemplo 1).
Al sumar todos los volúmenes ∆V k de los casquillos cilíndricos en el intervalo [0, 3] se obtiene
la suma de Riemann
n
a ¢Vk = a
k = 1
n
2psxk + 1dA3xk - xk
k = 1
2B ¢x.