Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

punto que está a un tercio de la distancia entre el punto medio
de cada lado del triángulo y el vértice opuesto, es el punto en donde
se intersecan sus tres medianas. Demuestre que el centroide está
en la intersección de las medianas, comprobando que también
se encuentra a un tercio de la distancia entre cada lado y el vértice
opuesto. Para ello, realice los pasos siguientes.
i. Coloque un lado del triángulo sobre el eje x, como en la figura
6.40b. Exprese dm en términos de L y dy.
ii. Utilice triángulos semejantes para demostrar que L = sb>hd
sh - yd. Sustituya esta expresión para L en su fórmula para dm.
iii. Demuestre que y = h>3.
iv. Aplique el mismo argumento a los otros lados.
Centroide
FIGURA 6.40 El triángulo del ejercicio 29. (a) El centroide.
(b) Las dimensiones y variables que se emplean para localizar
el centro de masa.
Utilice el resultado del ejemplo 29 para determinar los centroides de
los triángulos cuyos vértices aparecen en los ejercicios 30 a 34. Suponga
que a, b 7 0.
30. s -1, 0d, (1, 0), (0, 3) 31. (0, 0), (1, 0), (0, 1)
32. (0, 0), (a, 0), (0, a)
34. (0, 0), (a, 0), (a> 2, b)
33. (0, 0), (a, 0), (0, b)
Alambres delgados
35. Densidad constante Determine el momento, con respecto al
eje x, de un alambre con densidad constante que está a lo largo de
la curva , desde x = 0 hasta x = 2.
36. Densidad constante Determine el momento, con respecto al
eje x, de un alambre con densidad constante que está a lo largo de
la curva y = x 3 y = 2x
, desde x = 0 hasta x = 1.
37. Densidad variable Suponga que la densidad del alambre del
ejemplo 6 es d = k sen u (k constante). Determine el centro de
masa.
38. Densidad variable Suponga que la densidad del alambre del
ejemplo d = 1 + k ƒ cos u ƒ (k constante). Determine el centro de
masa.
Fórmulas de ingeniería
Verifique las afirmaciones y fórmulas de los ejercicios 39 a 42.
39. Las coordenadas del centroide de una curva plana diferenciable son
1 x ds
1 y ds
x = , y =
longitud longitud .
h
dy
(a) (b)
0
y
L
b
h y
y
x
6.4 Momentos y centro de masa 435
40. Sin importar el valor de en la ecuación y = x la
coordenada y del centroide del segmento parabólico que se muestra
a continuación, es y = s3>5da.
2 p 7 0
>s4pd,
41. En el caso de alambres y varillas delgadas de densidad constante
con forma de arcos circulares centrados en el origen y simétricos
respecto del eje y, la coordenada y del centro de masa es
42. (Continuación del ejercicio 41)
a. Realice los pasos siguientes para demostrar que, cuando α es
pequeña, la distancia d entre el centroide y la cuerda AB es
aproximadamente 2h> 3 (según la notación de la figura).
i. Demuestre que
T
0
ii. Grafique
y
y =
x
a
0
y
a sen a
a
y
3
a
5
y
s
c.m.
h
d
A B
a a
c
= ac
s .
d sen a - a cos a
=
h a - a cos a .
sen a - a cos a
ƒsad = a - a cos a
y
x2
4p
y utilice la función Trace de su calculadora gráfica para demostrar
que líma:0
b. El error (diferencia entre d y 2h> 3) es pequeño incluso para ángulos
mayores de 45°. Compruébelo evaluando el lado derecho
de la ecuación (9) para a = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1.0 radianes.
+ ƒsad L 2>3.
ds
y
x
x
x
(9)