Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

5x 25x 2 4
2
FIGURA 8.6 Si
entonces u = sec
y podemos leer los valores de las otras
funciones trigonométricas de u de este
triángulo rectángulo (ejemplo 3).
-1 x = s2>5dsec u,
0 6 u 6 p>2,
s5x>2d,
EJEMPLO 3 Uso de la sustitución x = a sec u
Evaluar
Solución Primero reescribimos el radical como
para poner el radical en la forma x 2 – a 2 . Después sustituimos
Con estas sustituciones, tenemos
L
x2 - a 2
5 b
2
= 4
25 sec2 u - 4
25
C x2 - a 2
5 b
2
= 2
5
ƒ tan u ƒ = 2
tan u.
5
dx
225x2 - 4 = L 52x2 - s4>25d = L
En ocasiones una sustitución trigonométrica nos puede ayudar a evaluar una integral
que tiene una potencia entera de un binomio cuadrático, como en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 4 Determinación del volumen de un sólido de rotación
Determine el volumen del sólido generado al hacer girar, alrededor del eje x, la región acotada
por la curva y = 4>sx el eje x y las rectas x = 0 y x = 2.
2 + 4d,
Solución Hacemos un bosquejo de la región (figura 8.7) y utilizamos el método de los
discos:
V =
L0
L
Para evaluar la integral, hacemos
225x 2 - 4 = B 25 ax 2 - 4
25 b
x = 2
2
p
sec u, dx = sec u tan u du, 0 6 u 6
5 5 2
= 4
25 ssec2 u - 1d = 4
25 tan2 u
= 1
5 L sec u du = 1
5 ln ƒ sec u + tan u ƒ + C
= 1 5x
ln `
5 2 + 225x2 - 4
2
2
dx
225x2 2
, x 7
- 4 5 .
dx
= 5 x
C 2 - a 2
5 b
2
` + C.
p[Rsxd] 2 dx = 16p
L0
8.5 Sustituciones trigonométricas 589
s2>5d sec u tan u du
5 # s2>5d tan u
x = 2 tan u, dx = 2 sec2 -1 x
u du, u = tan
2 ,
x 2 + 4 = 4 tan 2 u + 4 = 4stan 2 u + 1d = 4 sec 2 u
2
tan u 7 0 para
0 6 u 6 p>2
dx
sx 2 . 2 + 4d
Figura 8.6
Rsxd =
4
x 2 + 4