Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
EJERCICIOS 6.3
Longitudes de curvas parametrizadas
En los ejercicios 1 a 6, determine las longitudes de las curvas.
1.
2.
3.
4.
5. x = s2t + 3d
6. x = 8 cos t + 8t sen t, y = 8 sen t - 8t cos t, 0 … t … p>2
3>2 >3, y = t + t 2 x = t
>2, 0 … t … 3
2 >2, y = s2t + 1d 3>2 x = t
>3, 0 … t … 4
3 , y = 3t 2 x = 1 - t, y = 2 + 3t, -2>3 … t … 1
x = cos t, y = t + sen t, 0 … t … p
>2, 0 … t … 23
Determinación de longitudes de curvas
En los ejercicios 7 a 16, determine la longitud de cada curva. Si tiene
una calculadora gráfica, utilícela para graficar estas curvas.
7.
8.
9.
(Sugerencia: es un cuadrado perfecto).
10.
(Sugerencia: es un cuadrado perfecto).
11.
(Sugerencia: es un cuadrado perfecto).
12.
(Sugerencia: es un cuadrado perfecto).
13.
14. y = sx 3 >3d + x2 y = s3>4dx
+ x + 1>s4x + 4d, 0 … x … 2
4>3 - s3>8dx2>3 1 + sdx>dyd
+ 5, 1 … x … 8
2
x = sy 3 1 + sdx>dyd
>6d + 1>s2yd de y = 2 a y = 3
2
x = sy 4 >4d + 1>s8y 2 1 + sdx>dyd
d de y = 1 a y = 2
2
x = sy 3>2 >3d - y 1>2 1 + sdx>dyd
de y = 1 a y = 9
2
x = sy 3 y = x
>3d + 1>s4yd de y = 1 a y = 3
3>2 y = s1>3dsx
de x = 0 a x = 4
2 + 2d 3>2 de x = 0 to x = 3
15.
16.
x = L
0
x
y = L
y
-2
2sec 4 t - 1 dt, -p>4 … y … p>4
23t 4 - 1 dt, -2 … x … -1
Determinación de integrales para longitudes
de curvas
En los ejercicios 17 a 24, haga lo siguiente.
a. Establezca una integral para calcular la longitud de la curva.
b. Grafique la curva para ver su forma.
c. Utilice el evaluador de integrales de su calculadora gráfica o
computadora para determinar, de forma numérica, la longitud
de la curva.
17.
18.
19.
20.
21. y
22. y = sen x - x cos x, 0 … x … p
2 x = 21 - y
+ 2y = 2x + 1 de s -1, -1d a s7, 3d
2 y = x
y = tan x, -p>3 … x … 0
x = sen y, 0 … y … p
, -1>2 … y … 1>2
2 , -1 … x … 2
23.
24.
y = L
x =
L0
x
0
y
Teoría y aplicaciones
6.3 Longitudes de curvas planas 423
25. ¿Existe alguna curva suave (continuamente diferenciable) y = f (x),
cuya longitud en el intervalo sea siempre Justifique
su respuesta.
26. Uso de tangentes para deducir la fórmula de la longitud de
una curva Suponga que f es suave en [a, b] y que dividimos
este intervalo en la forma usual. En cada subintervalo
construimos un pequeño segmento de tangente en el punto (xk–1, f (xk–1)), como se muestra en la figura siguiente.
a. Demuestre que la longitud del k–ésimo segmento de tangente en
el intervalo es igual a 2s¢xkd
b. Demuestre que
2 + sƒ¿sxk - 1d ¢xkd 2 0 … x … a
22a?
[xk - 1, xk],
[xk - 1, xk]
.
n
lím
n: q a
k = 1
b
tan t dt, 0 … x … p>6
2sec 2 t - 1 dt, -p>3 … y … p>4
(longitud del k-ésimo segmento de tangente) =
21 + sƒ¿sxdd
La
que es la longitud L de la curva y = f (x) de a a b.
2 dx,
(x k–1 , f(x k–1 ))
x k–1
27. a. Determine una curva que pase por el punto (1, 1), cuya integral
de longitud sea
4
L = 1 +
L1
A
b. ¿Cuántas curvas cumplen con lo anterior? Justifique su respuesta.
28. a. Determine una curva que pase por el punto (0, 1) y cuya integral
de longitud sea
1
4x dx.
2
y f (x)
x k
Segmentos de
tangente con
pendiente
f'(x k–1 )
L = 1 +
L1
A
b. ¿Cuántas curvas cumplen con lo anterior? Justifique su respuesta.
29. La longitud es independiente de la parametrización Para
ilustrar el hecho de que el resultado que obtenemos en nuestra
1
dy. 4 y
x k
x