Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

662 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
4
3
2
1
0
y
y 2e x 1
FIGURA 9.11 La gráfica de y = 2e
sobrepuesta en un diagrama de las
aproximaciones de Euler que se muestran
en la tabla 9.1 (ejemplo 2).
x - 1
1
x
Cuando se llega a x = 1 (después de 10 pasos), el error relativo porcentual es de
casi 5.6%. En la figura 9.11 se muestra una gráfica de la curva de la solución exacta
con un diagrama de dispersión de los puntos de Euler de la tabla 9.1.
(b) Una forma de tratar de reducir el error consiste en disminuir el tamaño del paso. La
tabla 9.2 muestra los resultados y sus comparaciones con la solución exacta cuando
disminuimos el tamaño del paso a 0.05, duplicando el número de pasos a 20. Como en
la tabla 9.1, todos los cálculos se realizan antes de redondear. Esta vez, cuando se llega
a x = 1, el error relativo porcentual es sólo de aproximadamente 2.9%.
TABLA 9.2 Solución de Euler de y¿ =1 + y,
ys0d = 1, tamaño del paso dx = 0.05
x y(Euler) y (exacto) Error
0 1 1 0
0.05 1.1 1.1025 0.0025
0.10 1.205 1.2103 0.0053
0.15 1.3153 1.3237 0.0084
0.20 1.4310 1.4428 0.0118
0.25 1.5526 1.5681 0.0155
0.30 1.6802 1.6997 0.0195
0.35 1.8142 1.8381 0.0239
0.40 1.9549 1.9836 0.0287
0.45 2.1027 2.1366 0.0340
0.50 2.2578 2.2974 0.0397
0.55 2.4207 2.4665 0.0458
0.60 2.5917 2.6442 0.0525
0.65 2.7713 2.8311 0.0598
0.70 2.9599 3.0275 0.0676
0.75 3.1579 3.2340 0.0761
0.80 3.3657 3.4511 0.0853
0.85 3.5840 3.6793 0.0953
0.90 3.8132 3.9192 0.1060
0.95 4.0539 4.1714 0.1175
1.00 4.3066 4.4366 0.1300
En el ejemplo 2, podríamos haber intentado reducir el tamaño del paso aún más para
obtener una precisión mayor. Sin embargo, cada cálculo extra no sólo requiere de tiempo
adicional de cálculo sino, lo más importante, agrega errores de redondeo debido a las representaciones
aproximadas de los números dentro de la computadora.
El análisis del error y la investigación de los métodos para reducirlo cuando hacemos
cálculos numéricos son importantes, pero son propios de un curso más avanzado. Existen
métodos numéricos más precisos que el de Euler, como podremos ver en un estudio posterior
de ecuaciones diferenciales. A continuación analizaremos una mejora del mismo.