Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

232 Capítulo 3: Derivadas
Linealización de funciones trigonométricas
En los ejercicios 11 a 14, encuentre la linealización de f en x = a. Después
grafique juntas la linealización y f.
11.
12.
13.
14.
ƒsxd = sen x a sad x = 0, sbd x = p
ƒsxd = cos x a sad x = 0, sbd x = -p>2
ƒsxd = sec x a sad x = 0, sbd x = -p>3
ƒsxd = tan x a sad x = 0, sbd x = p>4
La aproximación s1 xdk « 1 kx
15. Demuestre que la linealización de ƒsxd = s1 + xd en x = 0 es
Lsxd = 1 + kx.
k
16. Use la aproximación lineal para encontrar
una aproximación de la función f(x) para valores de x cercanos a
cero.
a. b.
c. d.
e. f.
1
2 + x b
ƒsxd = s4 + 3xd
2
1>3
ƒsxd = 22 + x 2
ƒsxd = s1 - xd
2
ƒsxd =
1 - x
ƒsxd =
1
21 + x
6
s1 + xd k L 1 + kx
17. Más rápido que una calculadora Use la aproximación
para estimar lo siguiente:
a. b. 2
18. Encuentre la linealización de ƒsxd = 2x + 1 + sen x en
x = 0. ¿Cómo se relaciona con las linealizaciones individuales
de 2x + 1 y sen x en x = 0?
3 s1.0002d 1.009
50
s1 + xd 1 + kx
k L
Derivadas en forma diferencial
En los ejercicios 19 a 30, encuentre dy.
19. 20.
21. 22.
23. 24. xy 2 - 4x3>2 2y - y = 0
3>2 y =
2x
1 + x
21x
y =
3s1 + 1xd
+ xy - x = 0
2
y = x21 - x 2
y = x 3 - 31x
25. 26. y = cos sx 2 y = sen s51xd
d
27. 28. y = sec sx 2 y = 4 tan sx - 1d
3 >3d
29. y = 3 csc s1 - 21xd 30.
Error de aproximación
ƒsxd = 3
a1 -
B
y = 2 cot a 1
1x b
En los ejercicios 31 a 36, cada función f(x) cambia su valor cuando x
cambia de x0 a x0 + dx. Encuentre
a. el cambio ¢ƒ = ƒsx0 + dxd - ƒsx0d;
b. el valor de la estimación df = ƒ¿sx0d dx; y
c. el error de aproximación ƒ ¢ƒ - dƒ ƒ .
31.
32.
33.
34.
35.
36.
0
y
(x 0, f(x 0))
Tangente
Estimaciones diferenciales del cambio
En los ejercicios 37 a 42, escriba una fórmula diferencial que estime
el cambio dado en el volumen o en el área de la superficie.
37. El cambio en el volumen de una esfera cuando el
radio cambia de a
38. El cambio en el volumen V = x de un cubo cuando la longitud
de la arista cambia de a x0 + dx
3
V = s4>3dpr
r0 r0 + dr
3
39. El cambio en el área de la superficie S = 6x de un cubo cuando
la longitud de la arista cambia de a x0 + dx.
2
40. El cambio en el área de la superficie lateral S = pr2r de
un cono circular recto cuando el radio cambia de r0 a r0 + dr y la
altura no cambia.
2 + h 2
41. El cambio en el volumen V = pr de un cilindro circular recto
cuando el radio cambia de a r0 + dr y la altura no cambia.
2h 42. El cambio en el área de la superficie lateral S = 2prh de un cilindro
circular recto cuando la altura cambia de h0 a h0 + dh y el
radio no cambia.
Aplicaciones
x 0
dx
y f(x)
ƒsxd = x 2 + 2x, x0 = 1, dx = 0.1
ƒsxd = 2x 2 + 4x - 3, x0 = -1, dx = 0.1
ƒsxd = x 3 - x, x0 = 1, dx = 0.1
ƒsxd = x 4 , x0 = 1, dx = 0.1
ƒsxd = x -1 , x0 = 0.5, dx = 0.1
ƒsxd = x 3 - 2x + 3, x0 = 2, dx = 0.1
x0
x 0 dx
r0
df f'(x 0) dx
43. El radio de un círculo crece de 2.00 a 2.02 m.
a. Estime el cambio del área resultante.
b. Exprese la estimación como un porcentaje del área del círculo
original.
44. El diámetro de un árbol era de 10 pulgadas. Durante el año siguiente,
la circunferencia aumentó 2 pulgadas. ¿Aproximadamente
cuánto aumentó el diámetro del árbol? ¿Cuánto se incrementó
el área de la sección transversal?
45. Estimación de volumen Estime el volumen de material en un
casco cilíndrico con altura 30 pulgadas, radio 6 pulgadas y espesor
del casco 0.5 pulgadas.
x0
f f(x 0 dx) f(x 0)
x