Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

176 Capítulo 3: Derivadas
s, y
400
160
0
160
Altura (pies)
s máx
s 0
s
(a)
y 0
256 t ?
s 160t 16t 2
5 10
y
ds
160 32t
dt
(b)
FIGURA 3.17 La roca del ejemplo 5.
(b) Las gráficas de s y v como funciones
del tiempo; s es más grande cuando
y = ds/dt = 0.
La gráfica de snoes la
trayectoria de la roca, sino la gráfica de
la altura contra el tiempo. La pendiente de la
gráfica es la velocidad de la roca, dibujada
aquí como una recta.
t
En t = 2, la velocidad es
en la dirección de descenso (s está creciendo). La rapidez en t = 2 es
La aceleración en cualquier tiempo t es
En la aceleración es 9.8 m>seg2 t = 2,
.
EJEMPLO 5 Modelado del movimiento vertical
Una explosión de dinamita lanza una roca pesada directamente hacia arriba, con una
velocidad de 160 piesNseg (alrededor de 109 millasNh) (figura 3.17a). La roca alcanza
una altura de s = 160t – 16t 2 pies después de t segundos.
(a)¿Qué altura alcanza la roca?
(b) ¿Cuáles son la velocidad y la rapidez de la roca cuando está a 256 pies del suelo durante
el ascenso?, ¿durante el descenso?
(c) ¿Cuál es la aceleración de la roca en cualquier tiempo t durante el vuelo (después de
la explosión)?
(d) ¿Cuándo choca la roca nuevamente contra el suelo?
Solución
(a) En el sistema coordenado que hemos elegido, s mide la altura desde el suelo, de manera
que la velocidad es positiva en el trayecto hacia arriba y negativa en el camino
hacia abajo. Cuando la roca está en su punto más alto, es el instante del vuelo en el
que la velocidad es 0. Para encontrar la altura máxima, todo lo que tenemos que hacer
es determinar en qué momento y = 0 y evaluar s en ese tiempo.
En cualquier tiempo t, la velocidad es
La velocidad es cero cuando
La altura de la roca en t = 5 seg es
Vea la figura 3.17b.
y = ds
dt
smáx = ss5d = 160s5d - 16s5d 2 = 800 - 400 = 400 pies.
(b) Para encontrar la velocidad de la roca a 256 pies en el camino de subida y otra vez en
el camino de bajada, primero determinamos los dos valores de t para los que
Para resolver esta ecuación, escribimos
ys2d = 19.6 m>seg
Rapidez = ƒ ys2d ƒ = 19.6 m>seg.
astd = y¿std = s–std = 9.8 m>seg 2 .
= d
dt s160t - 16t2 d = 160 - 32t pies>seg.
160 - 32t = 0 o t = 5 seg.
sstd = 160t - 16t 2 = 256.
16st
st - 2dst - 8d = 0
t = 2 seg, t = 8 seg.
2 16t
- 10t + 16d = 0
2 - 160t + 256 = 0