Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

414 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
EJERCICIOS 6.2
En los ejercicios 1 a 6, utilice el método de los casquillos para determinar
el volumen de los sólidos generados al hacer girar la región
sombreada alrededor del eje indicado.
1. 2.
1
3. 4.
2
y
y
y 1 x2
4
0 2
y 2
x y 2
0 2
x
x
2
3
y
0 2
y
Resumen del método de los casquillos
Sin importar la posición del eje de rotación (horizontal o vertical), los pasos para
poner en práctica el método de los casquillos son:
1. Dibujar la región y trazar un segmento de recta que la cruce en forma paralela
al eje de rotación. Etiquetar la altura o longitud del segmento (altura
del casquillo) y la distancia desde el eje de rotación (radio del casquillo).
2. Determinar los límites de integración para la variable del grosor.
3. Integrar el producto 2p (radio del casquillo)(altura del casquillo) respecto
de la variable del grosor (x o y) para determinar el volumen.
El método de los casquillos proporciona la misma respuesta que el de las arandelas
al calcular el volumen de una región. La afirmación anterior se ilustra en los ejercicios 33
y 34, aunque aquí no se demostrará. Ambas fórmulas para calcular el volumen en realidad
son casos especiales de un método general para determinación de volúmenes que veremos
al estudiar las integrales dobles y triples en el capítulo 15. Dicha método nos permitirá
calcular volúmenes de otros sólidos, además de los que se obtienen al hacer girar
una región.
y 2 x2
4
y 3
x 3 y 2
x
0 3
x
5. El eje y. 6. El eje x.
y
2
y x2 1
1
0
3
x 3
Rotación alrededor del eje y
y
5 x3 9x
y
9
Utilice el método de los casquillos para determinar el volumen de cada
uno de los sólidos que se obtienen al hacer girar las regiones acotadas
por las curvas y las rectas dadas en los ejercicios 7 al 14 alrededor del
eje y.
7.
8.
9.
10. y = 2 - x
11. y = 2x - 1, y = 2x, x = 0
2 , y = x 2 y = x
, x = 0
2 y = x, y = -x>2, x = 2
y = 2x, y = x>2, x = 1
, y = 2 - x, x = 0, para x Ú 0
x
0
3
x