Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

168 Capítulo 3: Derivadas
Cómo leer los símbolos para las
derivadas
“y prima”
“y doble prima”
“d cuadrada y dx cuadrada”
“ triple prima”
“y supra n”
“d a la n de y entre dx a la n”
D “D a la n”
n
d n y
dxn y snd
d
y‡
2 y
dx 2
y¿
y–
Después usamos las reglas de la suma y de la potencia:
Segundas derivadas y derivadas de orden superior
Si y = ƒsxd es una función diferenciable, entonces su derivada ƒ¿sxd también es una función.
Si ƒ¿ también es diferenciable, podemos derivar ƒ¿ para obtener una nueva función
de x, denotada por ƒ– . Así, ƒ– =sƒ¿d¿ . La función ƒ– se llama segunda derivada de f, ya
que es la derivada de la primera derivada. En notación tenemos
ƒ–sxd = d 2y d
= 2 dx
El símbolo D 2 significa que la operación de diferenciación se realiza dos veces.
Si entonces y¿ =6x y tenemos que
5
y = x6 ,
D 2 Ax 6 B = 30x 4 .
dy
dx = -x -2 - 3s -2dx -3 + 2s -3dx -4
dx ady
dx
y– = dy¿
dx
=- 1 6 6
+ - 2 3 x x x
b = dy¿
dx = y– =D 2 sƒdsxd = D x 2 ƒsxd.
Por lo tanto,
Si es diferenciable, su derivada, y‡ =dy–>dx = d es la tercera derivada
de y con respecto a x. Como puede imaginar, los nombres continúan con
3y>dx3 y–
y snd = d
dx y sn - 1d = d n y
dx n = D n y
denotando la n-ésima derivada de y con respecto a x para cualquier entero positivo n.
Podemos interpretar la segunda derivada como la razón de cambio de la pendiente de
la tangente a la gráfica de y = f(x) en cada punto. En el siguiente capítulo veremos que la
segunda derivada revela si la gráfica se dobla hacia arriba o hacia abajo a partir de la recta
tangente conforme movemos el punto de tangencia. En la siguiente sección, la segunda y
la tercera derivadas se interpretan en términos del movimiento a lo largo de una recta.
EJEMPLO 14 Determinación de derivadas de orden superior
Las primeras cuatro derivadas de y = x son
3 - 3x2 + 2
Primera derivada:
Segunda derivada:
Tercera derivada:
Cuarta derivada:
= d
dx A6x5 B = 30x 4 .
y s4d y¿ =3x
y– =6x - 6
y‡ =6
= 0.
2 - 6x
La función tiene derivadas de todos los órdenes; la quinta derivada y todas las siguientes
son cero.
4 .