Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

EJERCICIOS 7.6
1. ¿Cuáles de las siguientes funciones crecen más rápidamente que
e x cuando x : q? ¿Cuáles crecen a la misma razón que e x ?
¿Cuáles crecen más lentamente?
a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
2. ¿Cuáles de las siguientes funciones crecen más rápidamente que
e x a medida que x : q? ¿Cuáles crecen a la misma razón que e x e log10 x
?
¿Cuáles crecen más lentamente?
x e
>2
x>2
s3>2d x
4 x
x
1x
3 + sen2 e
x + 3
x
x
Comparaciones con la exponencial
a. b.
c. d.
e. f. xe
g. cos x e x - 1 h. e x
e -x
s5>2dx 21 + x4 10x x ln x - x
4 + 30x + 1
7.6 Razones de crecimiento relativas 515
haber diferencias significativas en la manera en que los algoritmos diseñados eficientemente
realizan la misma tarea. Estas diferencias suelen describirse en notación O grande.
A continuación se da un ejemplo.
El Third New International Dictionary de Webster lista alrededor de 26,000 palabras
que empiezan con la letra a. Una manera de saber si una palabra se encuentra en el diccionario
consiste en recorrer la lista leyendo una palabra a la vez hasta que se localiza el término
buscado o se determine que no está. Este método, denominado búsqueda secuencial,
no aprovecha el que las palabras estén ordenadas alfabéticamente.
Otro método para determinar si la palabra está en el diccionario consiste en dividir la
lista en dos (palabras más, palabras menos) y buscar el término en la mitad de la parte en
donde es más probable que esté (gracias a que la lista está ordenada alfabéticamente, sabemos
cuál de las mitades hay que examinar primero). Este método elimina aproximadamente
13,000 palabras en un solo paso. Si la palabra no se encuentra en el segundo intento, se
divide otra vez en dos la mitad que la contiene. Se continua con este procedimiento hasta
encontrar la palabra, dividiendo la lista en tantas mitades como sea necesario hasta que no
queden palabras por revisar. ¿Cuántas veces se tiene que dividir la lista para encontrar la
palabra o saber que no se encuentra en ella? Cuando mucho 15 veces, ya que
s26,000>2 15 d 6 1.
Este método es, indudablemente, mejor que la búsqueda secuencial, en la quizá se tengan
que realizar 26,000 pasos.
Para una lista de longitud n, un algoritmo de búsqueda secuencial requiere del orden
de n pasos para encontrar una palabra o determinar que no se encuentra en ella. Una búsqueda
binaria, como se conoce al segundo método, requiere del orden de log2 n pasos. La
razón es que si 2 entonces m - 1 6 log2 n … m, y el número de particiones
necesarias para reducir la lista a una palabra será, cuando mucho, de m = 10dx x3 - x2 log10 sx 2 x d
2e -x
10x2 x2 8x
+ 1x
2
x3e -x
2 x
sx + 3d 2
2x 4 + x 3
x 5 - x 2
x 2 x
+ 4x
2