Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

6
L2 4
3
2
1
0 1
y
y
P 1 (0, 5)
P 1
1
P 3 (0, 2)
x
L 1
este sí
este sí
x x
este no
P 4 (3, 6)
P 2 (4, 2)
2 3 4 5 6
FIGURA 1.9 La pendiente de es
m = ¢y
¢x
Esto es, y aumenta 8 unidades cada vez
que x se incrementa 3 unidades. La
pendiente de es
L2
m = ¢y
¢x
= 6 - s -2d
3 - 0
P 2 L
y
y
m tan
x
FIGURA 1.11 La pendiente de una recta
no vertical es la tangente de su ángulo de
inclinación.
x
este no
FIGURA 1.10 Los ángulos de inclinación
se miden en sentido contrario al
movimiento de las manecillas del reloj, a
partir del eje x.
x
L1
= 8
3 .
2 - 5 -3
= =
4 - 0 4 .
Esto es, y disminuye 3 unidades cada vez
que x se reduce 4 unidades.
En la figura 1.11 se muestra la relación entre la pendiente m de una recta no vertical y
el ángulo de inclinación f de la misma:
Las rectas tienen ecuaciones relativamente sencillas. Todos los puntos sobre la recta
vertical que pasa por el punto a, en el eje x tienen coordenadas x iguales a a. Por lo tanto,
x = a es una ecuación para la recta vertical. De manera similar, y = b es una ecuación
para la recta horizontal que interseca el eje y en b. (Vea la figura 1.12).
Podemos escribir una ecuación para una recta no vertical L si conocemos su pendiente
m y las coordenadas, P1sx1, y1d de uno de sus puntos. Si P(x, y) es cualquier otro punto en
L, podemos usar los dos puntos y P para calcular la pendiente:
de manera que
La ecuación
P1
m = tan f.
m =
y - y1
x - x1
1.2 Rectas, círculos y parábolas 11
y - y1 = msx - x1d o y = y1 + msx - x1d.
y = y1 + msx - x1d
es la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto sx1, y1d y tiene
pendiente m.
EJEMPLO 2 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene
pendiente –3/2.
Solución Sustituimos x1 = 2, y1 = 3, y m = -3>2 en la ecuación punto-pendiente para
obtener
Cuando x = 0, y = 6 así la recta interseca el eje y en y = 6.
EJEMPLO 3 Una recta que pasa por dos puntos
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por s -2, -1d y (3, 4).
Solución La pendiente de la recta es
y = 3 - 3
Ax - 2B, o y =-3 x + 6.
2 2
m =
-1 - 4
-2 - 3
= -5
-5
= 1.
Podemos usar esta pendiente con cualquiera de los dos puntos dados en la ecuación puntopendiente:
Con sx1, y1d s2, 1d
Con sx1, y1d s3, 4d
y = -1 + 1 # sx - s -2dd
y = 4 + 1 # sx - 3d
y = -1 + x + 2
y = 4 + x - 3
y = x + 1
y = x + 1
Algunos resultados
Esto es, y = x + 1 es la ecuación de la recta (figura 1.13).