Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

260 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
EJERCICIOS 4.2
Determinación de c en el teorema
del valor medio
Encuentre el o los valores de c, que satisfacen la ecuación
en la conclusión del teorema del valor medio para las funciones e intervalos
en los ejercicios 1 a 4.
1.
2.
3.
4.
Verificación y uso de hipótesis
¿Cuáles de las funciones de los ejercicios 5 a 8 satisfacen las hipótesis
del teorema del valor medio en el intervalo dado, y cuáles no? Justifique
sus respuestas.
5.
6.
7.
ƒsxd = x 2>3 , [0, 1]
ƒsxd = x + 1 x
, c1,
2 d
2
ƒsxd = 2x - 1, [1, 3]
ƒsxd = x 2>3 , [-1, 8]
ƒsxd = x 4>5 , [0, 1]
ƒsbd - ƒsad
b - a
ƒsxd = x 2 + 2x - 1, [0, 1]
ƒsxd = 2xs1 - xd, [0, 1]
sen x
8. ƒsxd = x , -p … x 6 0
L
0, x = 0
= ƒ¿scd
Sabemos que ystd es alguna función cuya derivada es 9.8. También sabemos que la
derivada de gstd = 9.8t es 9.8. De acuerdo con el corolario 2,
ystd = 9.8t + C
para alguna constante C. Como el cuerpo cae desde el reposo, ys0d = 0. Por lo tanto,
9.8s0d + C = 0, y C = 0.
La función velocidad debe ser ¿Qué pasa con la función posición, s(t)?
Sabemos que s(t) es alguna función cuya derivada es 9.8t. También sabemos que la
derivada de ƒstd = 4.9t es 9.8t. Según el corolario 2,
2
ystd = 9.8t.
sstd = 4.9t 2 + C
para alguna constante C. Si la altura inicial es ss0d = h, medida positiva hacia abajo desde
la posición de reposo, entonces
4.9s0d 2 + C = h, y C = h.
La función posición debe ser sstd = 4.9t
La habilidad para encontrar funciones a partir de sus razones de cambio, es una de las
herramientas más poderosas del cálculo. Como veremos en el capítulo 5, esta capacidad es
fundamental para el desarrollo matemático.
2 + h.
9. La función
es cero en x = 0 y x = 1 y diferenciable en (0, 1), pero su derivada
en (0, 1) nunca es cero. ¿Cómo puede ser esto? ¿No dice el
teorema de Rolle que la derivada tiene que ser cero en alguna parte
del intervalo (0, 1)? Justifique su respuesta.
10. ¿Para qué valores de a, m y b la función
satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo
[0, 2]?
Raíces (ceros)
11. a. Señale en una recta los ceros de cada polinomio y los ceros de
su primera derivada.
i)
ii)
iii)
3, x = 0
ƒsxd = • -x 2 + 3x + a, 0 6 x 6 1
mx + b, 1 … x … 2
y = x 2 - 4
y = x 2 + 8x + 15
ƒsxd = e x, 0 … x 6 1
0, x = 1
y = x 3 - 3x 2 + 4 = sx + 1dsx - 2d 2
iv) y = x 3 - 33x 2 + 216x = xsx - 9dsx - 24d