Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

574 Capítulo 8: Técnicas de integración
Después escribimos la fracción impropia como un polinomio más una fracción propia.
En el ejemplo inicial encontramos la descomposición de la fracción del lado derecho en
fracciones parciales, por lo que
L 2x3 - 4x2 - x - 3
x2 - 2x - 3
Un polinomio cuadrático es irreducible si no podemos escribirlo como un producto de
dos factores lineales con coeficientes reales.
EJEMPLO 4 Integración con un factor cuadrático irreducible en el denominador
Evaluar
por medio de fracciones parciales.
Solución El denominador tiene un factor cuadrático irreducible y un factor lineal repetido,
así que escribimos
Eliminando las fracciones de la ecuación se obtiene
Al igualar coeficientes de términos semejantes se obtiene
Coeficientes de
Coeficientes de
Coeficientes de
Coeficientes de x 0 x
:
1 x
:
2 x
:
3 :
Resolvemos estas ecuaciones de manera simultánea para determinar los valores de A, B, C
y D:
-4 = -2A, A = 2
C = -A = -2
B = 1
2x 3 - 4x 2 - x - 3
x 2 - 2x - 3
L
D = 4 - B + C = 1.
= 2x +
dx = L 2x dx + L
= L 2x dx + L
-2x + 4
sx 2 dx 2 + 1dsx - 1d
-2x + 4
sx 2 Ax + B
= 2 + 1dsx - 1d x2 + 1 +
C
x - 1 +
-2x + 4 = sAx + Bdsx - 1d 2 + Csx - 1dsx 2 + 1d + Dsx 2 + 1d
= sA + Cdx 3 + s -2A + B - C + Ddx 2
+ sA - 2B + Cdx + sB - C + Dd.
0 = A + C
5x - 3
x 2 - 2x - 3
= x 2 + 2 ln ƒ x + 1 ƒ + 3 ln ƒ x - 3 ƒ + C.
0 = -2A + B - C + D
-2 = A - 2B + C
4 = B - C + D
Restar la cuarta ecuación de la segunda.
De la primera ecuación
A = 2 y C = -2 en la tercera ecuación.
De la cuarta ecuación
5x - 3
x 2 - 2x - 3 dx
2
x + 1 dx + 3
L x - 3 dx
D
. 2 sx - 1d
(2)