Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y
y x 2
1
0 1
25
16
5
4
36
16
6
4
49
16
FIGURA 8.11 La aproximación
trapezoidal del área debajo de la gráfica
de y = x , de x = 1 a x = 2,
es un ligera
sobreestimación (ejemplo 1).
2
TABLA 8.3
x
1 1
5
4
6
4
7
4
2 4
y = x 2
25
16
36
16
49
16
7
4
4
2
x
EJEMPLO 1 Aplicación de la regla del trapecio
Utilice la regla del trapecio con n = 4 para estimar 1 Compare la estimación con el
valor exacto.
x2 dx.
Solución Divida el intervalo [1, 2] en cuatro subintervalos de la misma longitud (figura
8.11). Después evalúe y = x 2 en cada punto de la partición (tabla 8.3).
Utilizando estos valores de y, n = 4, y en la regla del trapecio,
tenemos
T = ¢x
2 ay0
¢x = s2 - 1d>4 = 1>4
+ 2y1 + 2y2 + 2y3 + y4b
= 1
8
= 75
32
El valor exacto de la integral es
La aproximación T estima por arriba o sobreestima la integral aproximadamente en
medio punto porcentual de su valor verdadero, 7/3. El porcentaje de error es
(2.34375 – 7>3d>s7>3d L 0.00446.
Podríamos haber predicho que la regla del trapecio sobreestimaría la integral del
ejemplo 1, considerando la geometría de la gráfica de la figura 8.11. Ya que la parábola es
cóncava hacia arriba, los segmentos que la aproximan están por arriba de la curva, dando
un trapecio ligeramente de mayor área que la correspondiente franja debajo de la curva.
En la figura 8.10 vemos que los segmentos de recta están debajo de la curva en aquellos
intervalos en donde la curva es cóncava hacia abajo, lo cual tiene como consecuencia que
la regla del trapecio estime por abajo o subestime la integral sobre esos intervalos.
EJEMPLO 2 Temperatura promedio
Un observador mide la temperatura exterior cada hora, desde el mediodía hasta la medianoche,
registrándola en la tabla siguiente.
Hora N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 M
Temp 63 65 66 68 70 69 68 68 65 64 62 58 55
¿Cuál fue la temperatura promedio durante el periodo de 12 horas?
Solución Estamos buscando el valor promedio de una función continua (temperatura)
para la cual conocemos los valores en tiempos discretos que están separados una unidad.
Necesitamos determinar
sin tener una fórmula para f (x). Sin embargo, la integral puede aproximarse por medio de
la regla del trapecio, utilizando las temperaturas de la tabla como valores de la función
en los puntos de una partición del intervalo de 12 horas, con 12 subintervalos (haciendo
).
T = ¢x
2 ay0 + 2y1 + 2y2 + Á b
1
avsƒd = ƒsxd dx,
b - aLa ¢x = 1
+ 2y11 + y12b
= 1
2 a63 + 2 # 65 + 2 # 66 + Á + 2 # 58 + 55b
= 782
a1 + 2 a25
16
= 2.34375.
L1
2
b + 2 a36
16
x2 dx = x3
3 d 2
=
1
8
3
1 2
b + 2 a49 b + 4b
16
- 1
3
8.7 Integración numérica 605
= 7
3 .