Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

2
y
1
2
0
–1
y' 0
y'' 0
y' 0
y'' 0
y' 0
y'' 0
y' 0
y'' 0
FIGURA 9.12 Soluciones gráficas del
ejemplo 2, incluyendo las rectas
horizontales y = –1 y y = 2, que pasan
por los valores de equilibrio.
x
9.4 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas 667
Para y 7 2, tenemos y¿ 70, así que una solución con un valor de y mayor que 2
aumentará desde allí y sin cota.
En resumen, las curvas solución por debajo de la recta horizontal y = –1 en el plano
xy ascienden hacia y = –1. Las curvas solución entre las rectas y = –1 y y = 2 descienden
de y = 2 hacia y = –1. Las curvas solución por arriba de y = 2 ascienden desde y = 2
y se mantienen creciendo.
3. Calcule y– y marque los intervalos en donde y– 70 y y– 60. Para determinar y– ,
derivamos y¿ respecto de x, por medio de diferenciación implícita.
y¿ =s y + 1ds y - 2d = y 2 - y - 2
y– = d d
s y¿d =
dx dx s y 2 - y - 2d
= 2yy¿ -y¿
= s2y - 1dy¿
= s2y - 1ds y + 1ds y - 2d.
Fórmula para y¿. Á
derivada implícitamente
respecto de x.
A partir de esta fórmula, vemos que y– cambia de signo en y = -1, y = 1>2, y
y = 2. Agregamos la información del signo a la línea de fase.
y' 0 y' 0 y' 0 y' 0
y'' 0 y'' 0 y'' 0 y'' 0
–1 1
2
2
4. Bosqueje una colección de curvas solución en el plano xy. Las rectas horizontales
y = -1, y = 1>2 y y = 2 dividen el plano en bandas horizontales en las que conocemos
los signos de y¿ y y– . En cada banda, esta información nos dice si las curvas solución
ascienden o descienden y cuál es su curvatura cuando x aumenta (figura 9.12).
Las “líneas de equilibrio” y = –1 y y = 2 también son curvas solución. (Las funciones
constantes y = –1 y y = 2 satisfacen la ecuación diferencial). Las curvas solución
que cruzan la recta y = 1>2 tienen un punto de inflexión allí. La concavidad
cambia de cóncava hacia abajo (arriba de la recta) a cóncava hacia arriba (abajo de la
recta).
Como se dijo en el paso 2, las soluciones en las bandas central e inferior se aproximan
al valor de equilibrio y = –1 cuando x aumenta. Las soluciones en la banda
superior ascienden constantemente, alejándose del valor y = 2.
Equilibrio estable y equilibrio inestable
Vea la figura 9.12 y fíjese, sobre todo, en el comportamiento de las curvas solución cerca
de los valores de equilibrio. Una vez que una curva solución tiene un valor cercano a y = –1,
tiende de manera asintótica hacia ese valor; y = –1 es un equilibrio estable. El comportamiento
cerca de y = 2 es justamente lo opuesto; todas las soluciones, excepto la solución
de equilibrio y = 2 se mueven alejándose de ella conforme x aumenta. Llamamos a y = 2
un equilibrio inestable. Si la solución está en ese valor, allí permanece, pero si está fuera
por cualquier cantidad, no importa qué tan pequeña, se aleja de él. (En ocasiones un valor
de equilibrio es inestable porque una solución se aleja de ella sólo por uno de los lados del
punto).
Ahora que sabemos lo que buscamos, podemos ver el comportamiento en la línea de
fase inicial. Las flechas se alejan de y = 2 y, una vez que están a la izquierda de y = 2, se
dirigen hacia y = –1.
y