Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

10 Capítulo 1: Preliminares
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
y
y 8
B(2, 5)
(2, 3)
y 5,
x 0
x 2
C(5, 6)
D(5, 1)
1 2 3 4 5
A(4, 3)
FIGURA 1.7 Los incrementos de las
coordenadas pueden ser positivos,
negativos o nulos (ejemplo 1).
BIOGRAFÍA HISTÓRICA*
René Descartes
(1596–1650)
P 1
P 1 (x 1 , y 1 )
0
y
P 2 (x 2 , y 2 )
x
(corrida)
x
P 2
x
y
(eleva
ción) y
Q(x 2 , y 1 )
Q
FIGURA 1.8 Los triángulos P1 y
P1¿Q¿P2¿ son semejantes, de manera que la
razón de sus lados tiene el mismo valor
para cualesquiera dos puntos sobre la
recta. Este valor común es la pendiente
de la recta.
QP2
L
x
Incrementos y rectas
Cuando una partícula se mueve de un punto del plano a otro, los cambios netos en sus coordenadas
reciben el nombre de incrementos. Tales incrementos se calculan restando las
coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final. Si x cambia de x1 a x2, el
incremento en x es
EJEMPLO 1 Si vamos del punto As4, -3d al punto B(2, 5), los incrementos en las coordenadas
x y y son
¢x = 2 - 4 = -2, ¢y = 5 - s -3d = 8.
De C(5, 6) a D(5, 1), los incrementos de las coordenadas son
¢x = 5 - 5 = 0, ¢y = 1 - 6 = -5.
Vea la figura 1.7.
Dados dos puntos y en el plano, llamamos a los incrementos
y el avance y la elevación, respectivamente, entre y
Dos puntos determinan siempre una única línea recta (por lo general denominada simplemente
recta) que pasa por ambos. La llamamos recta P1
Cualquier recta no vertical en el plano tiene la propiedad de que la razón
P2.
P1sx1, y1d P2sx2, y2d
¢x = x2 - x1 ¢y = y2 - y1
P1 P2.
m = elevación
corrida
¢x = x2 - x1.
¢y
=
¢x = y2 - y1
x2 - x1
Es la fórmula dados dos puntos P1sx1, y1d y P2sx2, y2d en la recta (figura 1.8). Esto se debe
a que las razones de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes son iguales.
DEFINICIÓN Pendiente
La constante
es la pendiente de la recta no vertical P1 P2.
m = elevación ¢y
=
corrida ¢x = y2 - y1
x2 - x1
La pendiente nos indica la dirección (hacia arriba, hacia abajo) a la derecha y la inclinación
de una recta. Una recta con pendiente positiva va hacia arriba a la derecha; una recta
con pendiente negativa va hacia abajo a la derecha (figura 1.9). A medida que aumenta
el valor absoluto de la pendiente, más rápido es el ascenso o el descenso de la recta, es decir,
mayor es su inclinación. Una recta con pendiente cero tiene dirección horizontal y no
tiene inclinación. La pendiente de una recta vertical es indefinida. Como el avance ¢x es
cero en el caso de una recta vertical, resulta imposible evaluar la razón de la pendiente m.
La dirección y la inclinación de una recta también pueden medirse con un ángulo. El
ángulo de inclinación de una recta que cruza el eje x es el menor ángulo medido en sentido
contrario al movimiento de las manecillas del reloj del eje x a la recta (figura 1.10). La
inclinación de una recta horizontal es 0º. La inclinación de una recta vertical es 90º. Si f
(la letra griega phi, o fi) es la inclinación de una recta, entonces 0 … f 6 180°.
*Para aprender más acerca de las figuras históricas y del desarrollo de los elementos y temas principales
del cálculo, visite www.aw-bc.com/thomas.