Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

142 Capítulo 2: Límites y continuidad
7. ¿Cómo están relacionados los límites laterales con los límites?
¿Cómo puede usarse (algunas veces) esta relación para calcular
un límite o para probar que no existe? Dé ejemplos.
8. ¿Cuál es el valor de lím u:0 sssen ud>ud? ¿Importa si u se mide en
radianes o en grados? Explique por qué.
9. ¿Qué significa exactamente límx:x0 ƒsxd = L Dé un ejemplo en
donde, dados f, L, x0 y P > 0, encuentre d > 0 en la definición formal
de límite.
10. Dé las definiciones precisas de los siguientes enunciados.
a. b. límx:2
c. límx:2 ƒsxd = q d. límx:2 ƒsxd = -q
+ límx:2 ƒsxd = 5
- ƒsxd = 5
11. ¿Qué significan exactamente
ƒsxd = L ? Dé ejemplos.
límx:q ƒsxd = L y
límx:-q
12. ¿Qué son límx:;q k (k constante) y límx:;q s1>xd? ¿Cómo puede
ampliar estos resultados a otras funciones? Dé ejemplos.
13. ¿Cómo se encuentra el límite de una función racional cuando
x : ; q ? Dé ejemplos
14. ¿Qué son las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas? Dé
ejemplos.
15. ¿Qué condiciones debe satisfacer una función para ser continua
en un punto interior de su dominio? ¿Cuáles debe cumplir para
ser continua en un punto extremo?
16. ¿Cómo puede ayudarnos la observación de la gráfica de una función
a determinar en dónde es continua ésta?
17. ¿Qué significa que una función sea continua por la derecha en un
punto? ¿Qué significa que sea continua por la izquierda? ¿Cómo
están relacionadas la continuidad y la continuidad lateral?
18. ¿Qué puede decirse de la continuidad de las funciones polinomiales?
¿De las funciones racionales? ¿De las funciones trigonomé-
Capítulo 2 Ejercicios de práctica
Límites y continuidad
1. Grafique la función
ƒsxd = e
1, x … -1
-x, -1 6 x 6 0
1, x = 0
-x, 0 6 x 6 1
1, x Ú 1.
Después, discuta con detalle los límites, los límites laterales, la
continuidad y la continuidad lateral de f en x = –1, 0 y 1. ¿Alguna
de las discontinuidades se puede remover? Explique.
2. Repita las instrucciones del ejercicio 1 para
tricas? ¿De las potencias racionales y las combinaciones algebraicas
de funciones? ¿De la composición de funciones? ¿Del valor absoluto
de funciones?
19. ¿En qué circunstancias una función f(x) puede extenderse para ser
continua en un punto x = c? Dé un ejemplo.
20. ¿Qué significa que una función sea continua en un intervalo?
21. ¿Qué significa que una función sea continua? Dé ejemplos para
ilustrar el hecho de que una función que no es continua en todo su
dominio puede, sin embargo, ser continua en intervalos seleccionados
dentro de su dominio.
22. ¿Cuáles son los tipos básicos de discontinuidades? Dé un ejemplo
de cada uno. ¿Qué es una discontinuidad removible? Dé un
ejemplo.
23. ¿Qué significa que una función tenga la propiedad del valor intermedio?
¿Qué condiciones garantizan que una función tenga esta
propiedad en un intervalo? ¿Cuáles son las consecuencias de graficar
y resolver la ecuación f(x) = 0?
24. Suele decirse que una función es continua si es posible graficarla
sin separar el lápiz del papel. ¿Por qué?
25. ¿Qué significa que una recta sea tangente a una curva C en un
punto P?
26. ¿Cuál es el significado de la fórmula
lím
h:0
ƒsx + hd - ƒsxd
?
h
Interprete la fórmula geométrica y físicamente.
27. ¿Cómo se encuentra la tangente a la curva y = f(x) en un punto
(x 0, y 0) sobre la curva?
28. ¿Cómo está relacionada la pendiente de la curva y = f(x) en x = x 0
con la razón de cambio de la función respecto de x en x = x 0? ¿Cómo
se relaciona con la derivada de f en x 0?
ƒ ƒ
0, x … -1
1>x,
ƒsxd = d
0,
1,
0 6 x 6 1
x = 1
x 7 1.
ƒ ƒ
3. Suponga que f(t) y g(t) están definidas para toda t, y que
y Encuentre el límite de las funciones
siguientes cuando
a. 3ƒ(t) b. sƒstdd
c. ƒstd # gstd
d.
ƒstd
gstd - 7
e. cos (g(t)) f. ƒstd
g. ƒstd + gstd
h. 1>ƒ(t)
2
límt:t0
ƒstd = -7 límt:t0 gstd = 0.
t : t0