Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

602 Capítulo 8: Técnicas de integración
95. Deduzca la fórmula 29, usando una sustitución trigonométrica,
para evaluar
96. Deduzca la fórmula 46, usando una sustitución trigonométrica,
para evaluar
dx
L x
97. Deduzca la fórmula 80 evaluando
2 2x 2 L
.
2
- a 2a2 - x 2 dx.
L
mediante integración por partes.
xn sen ax dx
98. Deduzca la fórmula 110 evaluando
L
mediante integración por partes.
xn sln axd m dx
99. Deduzca la fórmula 99 evaluando
L
mediante integración por partes.
xn sen -1 ax dx
100. Deduzca la fórmula 101 evaluando
L
mediante integración por partes.
xn tan -1 ax dx
101. Área de una superficie Determine el área de la superficie generada
al hacer girar, alrededor del eje x, la curva y = 2x
0 … x … 22.
2 + 2,
102. Longitud de arco Determine la longitud de la curva y = x 2 ,
0 … x … 23>2.
103. Centroide Halle el centroide de la región en el primer cuadrante
determinada por la curva y = 1> 2x + 1 y la recta x = 3.
104. Momento respecto del eje y Una placa delgada de densidad constante
d = 1 ocupa la región acotada por la curva
y la recta x = 3 en el primer cuadrante. Determine el momento de
la placa respecto del eje y.
105. Utilice la tabla de integrales y una calculadora para determinar,
con dos decimales, el área de la superficie generada al hacer girar,
alrededor del eje x, la curva y = x 2 y = 36>s2x + 3d
T
, –1 x 1.
106. Volumen La jefa del departamento de contabilidad de la empresa
en donde usted trabaja le ha pedido determinar una fórmula
que pueda utilizar en un programa de cómputo para calcular el
inventario de fin de año de la gasolina contenida en los depósitos
de la compañía. Cada depósito tiene forma de un cilindro circular
recto de radio r y longitud L, montado en forma horizontal, como
se muestra a continuación. La información que llega al departamento
de contabilidad como medidas de la profundidad, se toma
con una varilla medidora, graduada en centímetros.
a. Demuestre, en la notación de la figura, que el volumen de la
gasolina en el tanque hasta una profundidad d es
V = 2L L
-r
-r + d
2r 2 - y 2 dy.
b. Evalúe la integral.
0
r
–r
y
107. ¿Cuál es el mayor valor que
2x - x
La
puede tener para cualesquiera valores de a y b? Justifique su
respuesta.
2 dx
108. ¿Cuál es el mayor valor que
x22x - x
La
puede tener para cualesquiera valores de a y b? Justifique su
respuesta.
2 dx
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
En los ejercicios 109 y 110, utilice un software matemático para realizar
las integraciones.
109. Evalúe las integrales
Varilla medidora
L
a. b. c.
d. ¿Observa algún patrón? Trate de predecir la fórmula para
y después evalúe su conjetura con un software
matemático para ver si es correcta.
e. ¿Cuál es la fórmula para 1 Compruebe su
respuesta utilizando un software matemático.
110. Evalúe las integrales
xn 1
ln x dx, n Ú 1?
x4 L
ln x dx
x3 ln x dx.
L x2 x ln x dx
ln x dx
L
ln x
ln x
a. dx b. dx c.
2 3
L x L x L
d. ¿Observa algún patrón? Trate de predecir la fórmula para
y después evalúela con un software matemático para ver si es
correcta.
e. ¿Cuál es la fórmula para
L
b
b
L
ln x
dx 5
x
ln x
n dx, n Ú 2?
x
d Profundidad
de la gasolina
ln x
dx. 4 x
Verifique su respuesta utilizando un software matemático.